4.3 Побудова I поділ кутiв

4.3.1 Побудова кута, що дорiвнює заданому

Нехай треба побудувати кут, що дорiвнює куту BAC (рис.4.7). З вершини А довiльним радiусом R проводять дугу, яка iз стороною AC перетинається в точцi M, а із стороною AB - в точцi N. З точки А₁ прямої А₁В₁ цим самим радiусом проводять дугу, яка перетинає A₁B₁ в точцi N₁. Радiусом R₁, що дорiвнює величинi хорди MN, з точки N₁ ,як з центра, проводять другу дугу до перетину з дугою радiуса R у точцi M₁. Кут M₁A₁N₁ дорiвнює куту MAN.

4.3.2 Побудова I вимiрювання кутiв за допомогою транспортира

За допомогою транспортира будують тi кути, якi не можна побудувати косинцем. Нехай на прямiй у точцi A треба побудувати кут, що дорiвнює 36⁰ (рис.4.8). Для цього центр пiвкола транспортира (точку О) сумiщують з точкою A, а його початкову пряму з прямою . По шкалi транспортира проти подiлки 36⁰ фiксують точку В i через точки A i B проводять другу сторону шуканого кута.

Аналогiчно i вимiрюють кути за допомогою транспортира.

Рисунок 4.7 Рисунок 4.8

4.3.3 Побудова кутiв за допомогою лiнiйки I косинцiв

Двома косинцями (одного з кутами 45⁰ i другого з кутами 30⁰ i 60⁰) разом з лiнiйкою або рейсшиною можна побудувати кути, кратнi 15⁰. На рис.4.9 видно, як при рiзноманiтних положеннях косинцiв та лiнiйки можна побудувати кути 15⁰,30⁰, 45⁰, 60⁰, 75⁰, 90⁰, 105⁰, 120⁰, 135⁰, 150⁰,165⁰ .

Рисунок 4.9

4.3.4 Поділ кута на двi рiвнi частини

Нехай треба подiлити кут ABC на двi рiвнi частини (рис.4.10,а). З вершини B кута довiльним радiусом R проводять дугу, яка перетинає сторони кута в точках 1 i 2. Iз знайдених точок, як iз центрiв, роблять двi засiчки радiусом, бiльшим вiд половини вiдстанi мiж точками 1 i 2. Пряма BD подiляє кут ABC на двi рiвнi частини, тобто є бiсектрисою цього кута.

На рис.4.10,б кут ABC подiлено на 4 рiвні частини.

а б

Рисунок 4.10

4.3.5 Поділ прямого кута на три рiвнi частини

На рис.4.11 прямий кут BAC подiлено на три рiвні частини. Спочатку довiльним радiусом R з вершини A прямого кута проведено дугу, яка перетинає сторони кута в точках 1 i 2. Iз знайдених точок цим самим радiусом проводять дуги до перетину з дугою 12 у точках D i E. Прямi AD i AE дiлять прямий кут на три рiвнi частини.

На рис.4.12 побудовано кут, що дорiвнює 15⁰. Використано вищенаведену побудову.

На рис.4.13 прямий кут подiлено на три рiвнi частини за допомогою косинця з кутами 30⁰ i 60⁰.

Рисунок 4.11 Рисунок 4.12 Рисунок 4.13

4.4 Поділ кола на рiвнi частини.

Побудова правильних вписаних багатокутникiв

4.4.1 Поділ кола на чотири рiвнi частини

На рис.4.14 два взаємно перпендикулярних дiаметри AB i AC дiлять коло на чотири рiвні частини. Сполучивши точки A,B,C,D, дiстають квадрат.

4.4.2 Поділ кола на вiсiм рiвних частин

Два взаємно перпендикулярних дiаметри AB i DC (рис.4.15) дiлять коло на чотири рiвні частини. Дуги кола мiж точками A i C, B i C дiлять навпiл за допомогою циркуля або транспортира. Через знайденi точки i центр кола проводять прямi до перетину з протилежною частиною кола. Коло подiлиться на вiсiм рiвні частин. Сполучивши точки подiлу прямими, дiстають правильний восьмикутник.

4.4.3 Поділ кола на п'ять рiвних частин

Горизонтальний радiус OB кола дiлять на двi рiвнi частини (рис.4.16). Беручи знайдену точку O₁ за центр, проводять дугу радiусом, що дорiвнює вiдрiзку O₁C. Ця дуга перетинає горизонтальний дiаметр в точцi K. Вiдрiзок CK i є стороною вписаного п'ятикутника. На рис.4.16 побудовано правильний п'ятикутник.

Рисунок 4.14 Рисунок 4.15 Рисунок 4.16