Теоретичні відомості

Замкнуте електричне коло, що складається з індуктивності L, ємності С та опору R, є коливним контуром (рис.1). Якщо при вимкнутому ключі К конденсатор зарядити, а потім ввімкнути ключ, то конденсатор зразу ж почне розряджатись на котушку і в колі виникне зростаючий струм .

Цей струм приведе до виникнення в котушці електрорушійної сили самоіндукції , яка протидіє його миттєвому зростанню. Через деякий час, коли конденсатор повністю розрядиться, струм в контурі досягне максимуму і ЕРС самоіндукції дорівнюватиме нулю. Починаючи з цього моменту, струм стане спадати. Знову виникне ЕРС самоіндукції, але тепер вже протидіюча спаданню струму. Цей струм приведе до перезарядки конденсатора, потім процес повториться в зворотному напрямі і т.д.

Рис. 1

У контурі виникнуть електромагнетні коливання, які без поновлення обов'язкових втрат енергії є згасаючими. Рівняння цих коливань можна одержати, застосовуючи другий закон Кірхгофа до даного кола:

,

Враховуючи, що , а , одержимо рівняння зміни заряду конденсатора:

. (2)

Враховуючи співвідношення , можна записати рівняння напруги

. (3)

Аналогічне рівняння одержується також і для струму в контурі. Ці рівняння, як бачимо, однотипні і є однорідними лінійними диференціальними рівняннями другого порядку; тому і розв'язки цих рівнянь мусять бути однотипними.

Будемо шукати розв'язок рівняння (3) у вигляді:

U = U₀ е ^-βt соs(ωt + φ₀ ). (4)

У цьому виразі невідомі величини β та ω, які зможемо знайти, скориставшись правилом, що розв'язок будь-якого рівняння обов'язково повинен задовольняти умови самого рівняння. Для цього знайдемо першу та другу похідні виразу (4) за часом:

. (5)

(6)

Підставимо (4), (5) та (6) в (3), винесемо за дужки вільні множники і згрупуємо доданки, пропорційні sin(ωt+φ₀) та cos(ωt+φ₀):

. (7)

Якщо вираз (4) є дійсно розв'язком диференціального рівняння (3), то (7) повинно виконуватись тотожно. Але, оскільки sin(ωt+φ₀) і cos(ωt+φ₀) утворюють незалежну систему функцій, які одночасно нулю дорівнювати не можуть, то рівність (7) буде виконуватись при умові:

, (8)

. (9)

З останнього знаходимо:

, (10)

а підставивши цей вираз в (8), маємо:

. (11)

Отже, ми довели, що вираз (4) є розв'язком диференціального рівняння (3). Цей вираз є рівнянням згасаючих коливань напруги. Іншими словами, при замиканні зарядженого конденсатора на коло з послідовно з'єднаних індуктивності і опору напруга на обкладинках конденсатора здійснюватиме згасаючі коливання за законом (4), графічне зображення якого дається на рис.2.

Величина називається коефіцієнтом згасання, який характеризує ступінь згасання коливань за одиницю часу.

Вираз U_t=U_о∙е^-βt визначає амплітуду, яка збігається з часом за експоненціальним законом. Це зображено на рис.2 пунктирною лінією.

Формула виражає собою циклічну частоту згасаючих електромагнетних коливань. Якщо ж омічний опір кола R = 0, то одержуємо частоту коливань в ідеальному контурі .

Знаючи частоту, можемо визначити період коливань для реального контуру:

, (12)

а також для ідеального контуру одержати формулу Томсона:

. (13)

Рис. 2

Зіставляючи формули (12) і (13) між собою, робимо висновок, що згасаючі коливання уповільнюються (частота зменшується, а період зростає) із збільшенням опору (відповідно збільшується при цьому також коефіцієнт згасання). У випадку виконання рівності

, (14)

маємо . У цьому випадку процеси, які відбуваються в контурі при розрядці конденсатора, уже не мають періодичного характеру, а стають аперіодичними. Опір, при якому наступає такий процес, називається критичним. Величину критичного опору можна визначити за допомогою співвідношення (14):

. (15)

При аперіодичному процесі напруга на конденсаторі не здійснює коливань, а змінюється як показано на рис.3.

Для характеристики згасаючих коливань, крім коефіцієнта згасання, часто користуються поняттям логарифмічного декремента згасання, який дорівнює натуральному логарифмові відношення двох сусідніх амплітудних значень напруги (струму чи заряду) в реальному коливальному контурі (див. рис. 2)

. (16)

Рис. 3

Підставивши в останню формулу значення амплітуд напруги, які відрізняються в часі на один період, одержимо співвідношення:

. (17)

Отже, логарифмічний декремент затухання характеризує ступінь згасання коливань за один період. Його можна визначити через параметри коливальної системи:

. (18)

У випадку малих значень активного опору контуру останню формулу можна спростити:

. (19)

Рис. 4

На рис.4 зображена блок-схема установки даної лабораторної роботи. Ємність С та індуктивність L з омічним опором R створюють коливальний контур, ввімкнений на вхід осцилографа, на екрані якого спостерігаються згасаючі електромагнетні коливання.