§9. Экстремумы функций двух независимых переменных

Определение: Функция двух переменных имеет максимум в точке , если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство

Обозначается:

Определение: Функция двух переменных имеет минимум в точке , если существует такая окрестность этой точки, что выполняется неравенство

Обозначается:

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции (а точка, в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума).

Необходимое условие существования экстремума

ТЕОРЕМА. Если функция имеет в точке экстремум, то ее частные производные в этой точке (если они существуют) равны нулю, то есть , (1).

Доказательство: Положим . Тогда – функция одной переменной х. Функция имеет в точке экстремум, следовательно, по необходимому условию экстремума функции одной переменной , то есть . Аналогично .

Замечание. Функция может иметь экстремум и в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует.

Например, – min в точке , частные производные в этой точке не существуют.

Определение: Точки, в которых частные производные , обращаются в нуль или не существуют, называются критическими точками или точками, подозрительными на экстремум; точки, в которых выполняется (1) – стационарными.

Достаточные условия существования экстремума

ТЕОРЕМА. Пусть в некоторой окрестности точки функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные I-го и II-го порядков.

Пусть – стационарная точка, то есть , .

Положим , , и

Тогда

1) если , то в точке функция имеет экстремум, причем при максимум, при минимум;

2) если , то в точке экстремума нет;

3) если , то требуются дальнейшие исследования.

Без доказательства.

Пример: исследовать на экстремум функцию

Решение. 1) Найдем критические (стационарные) точки. Для этого найдем частные производные и приравняем их к нулю.

, - критические (стационарные) точки.

2) Найдем частные производные II-го порядка

3) Найдем значения частных производных в точке

в точке экстремума нет

4) Найдем значения частных производных в точке

, в точке функция имеет min

§10. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных

Ранее была сформулирована теорема, согласно которой функция , непрерывная в ограниченной замкнутой области D, достигает в этой области наибольшего и наименьшего значений, причем эти значения достигаются либо внутри области D, либо на ее границе.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных

1. Найти внутри области D критические точки и вычислить в них значения функции;

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области D;

3. Сравнить найденные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее значения во всей области D.

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге

1) Найдем критические точки внутри круга и значения функции в них

– критическая точка

2) Найдем наибольшее и наименьшее значения на границе, то есть на окружности или . Функцию z представим как функцию одной переменной , где

а) Найдем критические точки в интервале

б) На границе отрезка

3) достигается в точках и

достигается в точках и

15