§2. Поверхности второго порядка
2.1. Цилиндрические поверхности
Поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную
линию L и параллельных данной прямой l, называется цилин-
дрической поверхностью. Линия L называется направляющей
цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих
эту поверхность и параллельных прямой l – образующей.
Будем рассматривать только такие цилиндрические поверхности, направляя-
ющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие
параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.
Р
ассмотрим
в плоскости Oxy линию
L,
имеющую в Oxy уравнение
(1).
Построим цилиндрическую поверхность с направляющей L
и образующей, параллельной Oz. Покажем, что (1) есть
уравнение цилиндрической поверхности в Oxy.
Точка
принадлежит цилиндрической поверхности
Точка N – точка пересечения направляющей L и
образующей, проходящей через точку М
Точка N – проекция точки М на Oxy
Абсциссы и ординаты точки М и точки N одинаковы
Координаты т.
удовлетворяют (1) (т.
),
следовательно, координаты т.
также удовлетворяют (1) (в нем нет z)
Итак, – уравнение цилиндрической поверхности в пространстве Oxyz с образующими, параллельными оси Oz и направляющей, задающейся в плоскости Oxy тем же уравнением.
Замечание. – уравнение цилиндрической поверхности в пространстве Oxyz
– уравнение линии L в плоскости Oxy
– уравнение линии L
в пространстве Oxyz
Аналогично:
–
уравнение цилиндрической поверхности
в пространстве Oxyz с
образующими, параллельными оси Oy
–
уравнение цилиндрической поверхности
в пространстве Oxyz с
образующими, параллельными оси Ox
Примеры: Все уравнения заданы в пространстве Oxyz
1)
– эллиптический цилиндр, образующие
параллельны
оси Oz, направляющая – эллипс с полуосями a и b.
При
– круговой цилиндр
2)
– гиперболический цилиндр,
образующие параллельны оси Oy
3)
– параболический цилиндр,
образующие параллельны оси Ox
2. Гиперболический цилиндр 3. Параболический цилиндр
2.2. Конические поверхности
Поверхность, составленная из прямых, пересекающих данную линию L и проходящих через данную точку P, называется конической поверхностью.
Линия L называется направляющей конической поверхности, точка Р – вершиной, а прямые, составляющие коническую поверхность – образующими.
Рассмотрим уравнение
(2)
Р
ассмотрим
сечение поверхности следующими
плоскостями:
1) плоскостью Oyz:
– две прямые в плоскости Oyz
2) плоскостью Oхz:
– две прямые в плоскости Oхz
3) плоскостью Oхy:
,
– точка О(0,0,0)
4) плоскостью, параллельной Oxy,
то есть
,
делим на
,
где
,
С увеличением h полуоси эллипсов увеличиваются.
–
уравнение конической поверхности в
пространстве Oxyz с
вершиной О(0,0,0), направляющая – эллипс.
Замечание. Если , то направляющей является окружность, конус называется круглым.
2.3. Эллипсоид
Поверхность, определяемая уравнением
(3), называется эллипсоидом.
Числа a, b, c – полуоси эллипсоида.
Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями:
1) плоскостью Oхy:
– эллипс
2) аналогично в сечении плоскостями Oyz и Oxz –эллипсы
3) в сечении эллипсоида плоскостями
,
,
также получаем эллипсы
Свойства эллипсоида:
1) эллипсоид – замкнутая поверхность, симметричная
относительно начала координат и относительно координатных
плоскостей
2) Если , то в сечении плоскостью Oxy получим – окружность. Эллипсоид является эллипсоидом вращения вокруг оси Oz
3) Если
,
то эллипсоид вращения вокруг оси Oх
4) Если
,
то эллипсоид вращения вокруг оси Oу
5) Если
,
то
– сфера