§5. Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных

Из формул (1) и (2) предыдущего параграфа получим, что если дифференцируема в т. , то ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

Определение: Если функция дифференцируема в т. , то главная, линейная относительно и часть приращения функции, то есть выражение называется полным дифференциалом функции и обозначается .

Приращения и называются дифференциалами независимых переменных x и y.

Итак, – полный дифференциал функции

Пример: Найти полный дифференциал в произвольной точке

Решение. , ,

, – непрерывны на всей плоскости Oxy существует в любой точке Oxy.

Замечание. ,

Полный дифференциал применяется к приближенным вычислениям.

§6. Дифференцирование сложной функции

Пусть дана функция , где , – функции от t. Тогда – сложная функция от t, а переменные x и y – промежуточные аргументы.

Пусть , имеют производные в точке t, а в соответствующей точке дифференцируема.

Найдем , зная , и , . Дадим t приращение , тогда x и y получат приращения , , а z приращение . Функция z дифференцируема, значит

, где при .

Разделим на :

Устремим :

Если , то и , так как и непрерывны

(1) - производная сложной функции , где ,

Пример: , ,

, ,

Замечание. Рассмотрим функцию , где , . Тогда – сложная функция и ее частные производные вычисляются по формулам (при условии дифференцируемости соответствующих функцийее частные производные вычисляются по формулам ()0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000):

Полная производная

Рассмотрим функцию , где . Переменная z есть функция одной переменной х: . Тогда из , где вместо t рассматривать переменную х, получаем (2) – формула полной производной

Пример: , , ,

Решение.

§7. Производная неявной функции

Пусть функция y от х задана уравнением , то есть задана неявно.

Пусть , , непрерывны в окрестности т. , координаты которой удовлетворяют уравнению , причем .

По формуле (2) получим

– производная неявной функции

Пример: Найти в точке

Ответ: ,

§8. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Пусть имеет непрерывные частные производные I-го порядка , , которые являются функциями от x и y, следовательно, их можно снова дифференцировать. Получим частные производные второго порядка от функции .

– z дифференцируется последовательно два раза по х

– z дифференцируется сначала по х, затем по у

– z дифференцируется сначала по у, затем по х

– z дифференцируется последовательно два раза по у

, – смешанная частная производная, отличаются последовательностью дифференцирования.

ТЕОРЕМА. Если функция и ее частные производные , , , непрерывны в т. и в некоторой ее окрестности, то в этой точке или . Результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Пример: Найти частные производные второго порядка от функции

Решение. , , , , ,

(непрерывны на всей плоскости Oxy)

Аналогично определяются частные производные третьего и более высоких порядков. Частная производная n-го порядка есть производная от производной (n-1)-го порядка.

Пусть дифференцируема в области D

дифференциал I-го порядка функции z, или

Дифференциал от дифференциала I-го порядка в любой точке , если он существует, называется дифференциалом второго порядка

– дифференциал второго порядка