2.5. Квантование по уровню

2.5.1. Оптимальное квантование по уровню

Рисунком 2.13 иллюстрируется принцип квантования по уровню⁷.

Рис. 2.13. Квантование по уровню.

Это квантование сводится к замене значения исходного сигнала уровнем того шага, в пределы которого оно (это значение) попадает. Как уже говорилось, шкала квантования по уровню характеризуется совокупностью границ интервалов квантования и уровней квантования X_i.

Количество передаваемых или хранимых данных о сигнале прямо пропорционально количеству уровней квантования. Следовательно, чем этих уровней меньше, тем меньше число передаваемых или хранимых данных и тем экономичнее система передачи или хранения квантованного сигнала.

Совсем необязательно, что бы шаги квантования по уровню были одинаковыми. Тогда, варьируя параметрами шкалы квантования, можно, к примеру, добиться минимально возможной при заданном числе шагов квантования дисперсии ошибки. Или, наоборот, задавшись дисперсией ошибки, найти параметры шкалы квантования (положение уровней и границ шагов квантования), при которых число уровней квантования минимально.

Вывод нужных соотношений будем вести, предполагая, что число уровней квантования достаточно велико, а скорость изменения квантуемого сигнала настолько мала, чтобы закон распределения ошибки внутри каждого из интервалов квантования можно было считать равномерным.

Э

Рис. 2.14. График ошибки квантования ε(t).

то предположение иллюстрируется рис. 2.14.

Из этого следует, что функция ошибки имеет пилообразную форму и что, чем меньше размер шага квантования, тем эта форма ближе к идеально пилообразной. А это в свою очередь означает, что вероятности значений ошибки в пределах интервала квантования равны, т.е. закон распределения этих значений является равномерным.

З

Рис. 2.15. Обозначения.

ададимся целью найти такую шкалу квантования по уровню, при которой среднее значение квадрата ошибки минимально.

Введем обозначения (рис. 2.15):

x_нi – нижняя граница шага квантования;

x_вi – верхняя граница шага квантования;

x_i – уровень квантования;

- размер i-го шага квантования.

Рис. 2.16. Закон распределения ошибки.

Тогда ошибка на i-м интервале распределена по равномерному закону (см. рис. 2.16).

Выведем для этого случая формулы математического ожидания и дисперсии ошибки квантования на i-м интервале.

,

(

Рис. 2.17. Обозначения.

источник − справочные данные для равномерного закона распределения).

Среднее значение квадрата ошибки на i-м уровне квантования по определению находится по формуле:

, так как .

Дисперсия от положения уровня квантования x_i не зависит, а

(см. формулу )

Следовательно, для минимизации среднего значения квадрата ошибки уровни квантования должны помещаться в центре соответствующих шагов квантования.

При этом не надо забывать о предположении достаточно большого числа уровней квантования, из-за чего стало возможным предположение о равномерном законе распределения ошибки.

Доказано, что значения функции ошибки при различных i можно считать независимыми. Поэтому среднее значение квадрата ошибки по всем уровням можно выполнить по известной формуле:

,

где p_i – вероятность попадания квантуемого сигнала в i-й интервал квантования,

− среднее значение квадрата ошибки на i-м интервале квантования.

Так как p_i от положения уровня квантования x_i внутри интервала квантования не зависит, то минимизация среднего значения квадрата ошибки на каждом из уровней приведет к минимизации среднего значения квадрата ошибки вообще.

При =0 среднее значение квадрата ошибки = , поэтому

.

Рис. 2.18. К расчету вероятности попадания значения сигнала в пределы шага.

При малых шагах можно считать (рис. 2.18).

Тогда

(2.20)