2.4.2.1. Интерполяция при помощи полиномов Лагранжа

Воспроизводящая функция в большинстве случаев рассчитывается по формуле: , где − некоторые функции. Эти функции обычно стремятся выбрать так, чтобы

. (2.14)

В этом случае , т.е. значения воспроизводящей и исходной функций совпадают в моменты взятия отсчетов или, как принято говорить, в узлах интерполяции.

Функции, обладающие этим качеством, нашел выдающийся французский математик и механик Жозеф Луи Лагранж (1736-1813).

Функции Лагранжа L зависят от одного аргумента t и двух параметров – n и k. Здесь n – максимальный номер отсчета, а k – номер функции.

(2.15)

Несложно доказать, что функции Лагранжа отвечают условию (2.14). Из формулы (2.15) следует, что функция Лагранжа является полиномом n-ой степени. Воспроизводящая функция по этой причине также является полиномом и называется полиномом Лагранжа n-ой степени.

Полином Лагранжа можно использовать для расчета воспроизводящей функции как при равномерной, так и при неравномерной дискретизации. Если же ограничиться только равномерной дискретизацией, полином Лагранжа можно преобразовать к виду:

2.4.2.2. Оценка максимального значения ошибки при получении воспроизводящей функции на основе полинома Лагранжа

Найдем погрешность интерполяции. Представим ее виде:

, (2.16)

где K(t) – вспомогательная функция, которую надо найти.

Для произвольного t* имеем:

(2.17)

Введем в рассмотрение еще одну функцию

(2.18)

Продиффенцируем ее n+1 раз по t.

Так как - полином n-ой степени, то .

K(t*) –константа, значит

.

Следовательно . (2.19)

Функция Ф(t) пересекает ось t как минимум n+2 раз (при значениях аргумента t в точках t₁, t₂, …, t_n и t* − см. (2.17), (2.18), см. рис. 2.6).

Это значит, что первая производная имеет хотя бы n+1 нулей (по одному на нулю на каждом интервале), вторая производная – n нулей и т.д. n+1-я производная должна иметь хотя бы одно нулевое значение при некотором .

Рис. 2.6. Точки пересечения оси Ф функцией Ф(t).

Отсюда, учитывая (2.19), в этой точке

.

Подставив эту формулу в формулу ошибки воспроизведения (2.16), получим:

.

Так как t* произвольно, его можно заменить на t:

.

выбиралось из условия . На практике найти сложно. Если вместо подставить и вместо подставить , то получаем оценку абсолютной величины ошибки сверху:

.

Таким образом, для определения наибольшего отклонения воспроизводящей функции, представленной полиномом Лагранжа, от исходной необходимо знать максимальное по абсолютной величине значение производной исходной функции.

Приступим теперь к решению обратной задачи – по заданному значению максимальной погрешности , порядку n полинома Лагранжа и максимальному значению производной M_n находить максимально возможный шаг равномерной дискретизации.

2.4.2.3. Схема дискретизации-передачи-восстановления сигнала

Предположим, что для дискретизации-передачи-восстановления сигнала используется схема, изображенная на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Схема дискретизации-передачи-восстановления сигнала X(t).

Верхняя граница максимальной ошибки , как показано выше, задается формулой .

Графики на интервале дискретизации при разном порядке n полинома Лагранжа изображены на рис. 2.8.

Рис. 2.8. График сомножителя при разных n.

Ясно, что наименьших значений достигает на серединных шагах . Следовательно, и восстанавливать сигнал лучше всего именно на этих серединных отрезках. Это позволит уменьшить .

Для этого предлагается использовать порядок восстановления, иллюстрируемый графиками, приведенными на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Порядок восстановления исходной функции при использовании для этого полиномов Лагранжа 4 степени.

.

Рассмотрим несколько вариантов, отличающихся порядком n используемых полиномов Лагранжа.