Раздел 10. Перебор и его сокращение

1. Теоретические вопросы:

Обработка числовых последовательностей.

Представление данных в виде массивов..

Основные понятия комбинаторики.

Графы.

II. Задачи для самостоятельного решения:

1. Даны натуральные числа В последовательности выбрать подпоследовательности такую, что .Если такую подпоследовательность выбрать невозможно, то следует сообщить об этом.

При решении этой задачи полезно следующее соображение. Чтобы выбрать подпоследовательность из последовательности , нужно про каждый член решить, принимается он в подпоследовательность или нет. Может возникнуть следующая ситуация: относительно членов приняты какие-то решения, после этого обнаружилось, что, как бы мы ни распоряжались остальными членами, нам всё равно не удастся получить подпоследовательность, удовлетворяющую поставленному условию (например, если сумма нескольких положительных чисел больше m, то невозможно добавить к ним ещё несколько положительных чисел так, чтобы сумма стала равна m). В этом случае можно сразу исключить из рассмотрения все подпоследовательности, первые члены которых выбраны из в соответствии с принятыми решениями.

2. Получить все расстановки 8 ладей на шахматной доске, при которых ни одна ладья не угрожает другой.

Здесь полезно соображение, аналогичное приведённому в предыдущей задаче. Если расставлены ладьи в i первых вертикалях (i<8) и обнаружилось, что i-я ладья угрожает ладье в какой-то вертикали с меньшим номером, то можно далее не заниматься теми расстановками ладей, которые предполагают то же самое расположение в первых вертикалях

3. Дано натуральное число m. Получить m расстановок 8 ферзей на шахматной доске, при которых ни один из ферзей не угрожает другому. Если m больше, чем общее число таких расстановок, то следует получить все расстановки.

4. Получить все перестановки элементов 1, ..., 6.

5. Получить все сочетания из 10 элементов 1, ..., 10, по 4 элемента в каждом.

6. Получить все размещения из 9 элементов 1, ..., 9, по 5 элементов в каждом.

7. Получить все полные перестановки 10 элементов 1, ..., 10 (перестановка элементов 1, ..., n называется полной, если для i=1, ..., n).

8. Указать маршрут коня, начинающийся на одном заданном поле шахматной доски и оканчивающийся на другом. Никакое поле не должно встречаться в маршруте дважды.

9. Лабиринт может быть задан матрицей соединений³, в которой для каждой пары комнат указано, соединены ли они коридором. Даны матрица соединений для лабиринта из n комнат и номера комнат i, j . Построить путь из комнаты с номером i в комнату с номером j.

10. Дана матрица соединений некоторой линии, содержащей 6 узлов. Выяснить, существует ли замкнутый путь, состоящий из некоторых звеньев линии, который проходит через каждый из 6 узлов ровно один раз. Если такой путь существует, то построить соответствующую ему последовательность номеров узлов. (Для линии, изображенной на рис. 1, последовательность узлов будет, например, 1, 2, 3, 4, 5, 6.)

3

6

2 4

1 5 Рис.1

11. Имеется n городов. Некоторые из них соединены дорогами известной длины. Вся система дорог задана квадратной матрицей порядка n, элемент которой равен некоторому отрицательному числу, если город i не соединен напрямую дорогой с городом j и равен длине дороги в противном случае (i, j = 1, …, n).

а) Для 1-го города найти кратчайшие маршруты в остальные города.

б) В предположении, что каждый город соединен напрямую дорогой с каждым, найти кратчайший маршрут, начинающийся в 1-м городе и проходящий через все остальные города.

12. Найти такую расстановку пяти ферзей на шахматной доске, при которой каждое поле будет находиться под ударом одного из них.

13. Найти такую расстановку двенадцати коней на шахматной доске, при которой каждое поле будет находиться под ударом одного из них.

14. Найти такую расстановку восьми слонов на шахматной доске, при которой каждое поле будет находиться под ударом одного из них.

15. В данной последовательности действительных чисел выбрать возрастающую подпоследовательность наибольшей длины.

16. Построить все правильные скобочные выражения длины 10, т.е. те, которые содержат по 5 левых и по 5 правых круглых скобок.

Правильное скобочное выражение получается из некоторого математического выражения, содержащего круглые скобки, вычёркиванием всех знаков, кроме круглых скобок. Например, из выражения получается правильное скобочное выражение . Более точное описание множества правильных скобочных выражений:

1. ( ) – правильное скобочное выражение;

2. если Р – правильное скобочное выражение, то (Р) - правильное скобочное выражение;

17. Если Р и Q - правильные скобочные выражения, то РQ - правильное скобочное выражение. так как рядом расположены два одинаковых участка 2, 1, 0, 1 и т.д.).

18. «Задача о рюкзаке». Имеется m различных предметов, известны вес каждого предмета и его стоимость. Определить, какие предметы надо положить в рюкзак, чтобы общий вес не превышал заданной границы, а общая стоимость была максимальна. Решить эту задачу для m предметов, веса которых в килограммах равны стоимости - . Вес рюкзака не должен превышать 50 кг.