Раздел 2. Системы счисления

I. Теоретические вопросы:

Данные и их представление в памяти;

Системы счисления, их использование в компьютерной технике;

Алгоритм перевода из одной системы счисления в другую;

Арифметические действия над числами, представленными в разных системах счисления;

II. Задачи для самостоятельного решения:

1. Получить последовательность d_k, d_k-1, ..., d₀ десятичных цифр числа 2²⁰⁰, т. е. такую целочисленную последовательность, в которой каждый член d_i удовлетворяет условию 0≤d_i≤9 и, дополнительно, d_k∙10^k+ d_k-1∙10^k-1+…+ d₀=2²⁰⁰.

2. Получить последовательность d_-1, d_-2, ..., d_-k, десятичных цифр числа 2^-200, т. е. такую целочисленную последовательность, в которой каждый член d_i удовлетворяет условию 0≤d_i≤9 и, дополнительно, d_-1∙10^-1+ d_-2∙10^-2+…+d_-k∙10^-2 =2^-200.

3. Получить последовательность d_k, d_k-1, ..., d₀ десятичных цифр числа 100!, , т. е. такую целочисленную последовательность, в которой каждый член d_i удовлетворяет условию 0≤d_i≤9 и, дополнительно, d_k∙10^k+ d_k-1∙10^k-1+…+ d₀=100!.

4. Получить последовательность d_k, d_k-1, ..., d₀ десятичных цифр числа:

а) 100! + 2¹⁰⁰;

б) 100!-2¹⁰⁰,

т. е. получить такую целочисленную последовательность, в которой каждый член d_i удовлетворяет условию 0≤d_i≤9 и, дополнительно, d_k∙10^k+ d_k-1∙10^k-1+…+ d₀ равно 100!+ 2¹⁰⁰ или соответственно 100!—2¹⁰⁰.

5. Дано натуральное число р. Получить двоичное представление числа р в виде последовательности а₀, ...,а_n нулей и единиц такой, что р=а_n∙2ⁿ+…+ а₁∙2+а₀. (а_n≠0).

6. Даны натуральные числа р, q (q≥2). Получить q-ичное представление числа р в виде такой последовательности а₀, ..., а_n целых неотрицательных чисел, что а_i<q (i=0,…,n) и р = а_n∙qⁿ+…+ а₁∙q+а₀ (а_n≠0).

7. Даны действительное число х, натуральное число q (0≤x<1, q≥2). Получить пять цифр q-ичного представления числа х, т. е. получить последовательность целых неотрицательных а_-1, а_-2, а_-3, а_-4,а_-5, такую, что х = а_-1∙q^-1+…+ а_-5∙q^-5+r, 0≤ а_i≤q-1, r< q^-5.

8. Дано натуральное число р. Получить последовательность а₀, ..., а_n, каждый член которой равен -1, 0 или 1, такую, что р = а_n∙3ⁿ+…+ а₁∙3+а₀. (а_n≠0).

9. Даны натуральное число n, целые числа а₀, ...,а_n такие, что каждое а_i равно нулю или единице и а_n≠0. Последовательность а₀, ...,а_n задает двоичное представление некоторого целого числа р= а_n∙2ⁿ+…+а₁∙2+а₀. Получить последовательность нулей и единиц, задающую двоичное представление:

а) числа р + 1;

б) числа р - 1;

в) числа Зр.

10. Получить все меньшие 10⁶ натуральные числа, которые являются палиндромами как в десятичной, так и в двоичной системах.

11. Дано натуральное число m. Найти такое натуральное n, что двоичная запись n получается из двоичной записи m изменением порядка цифр на обратный (m задано в десятичной системе, и n надо также получить в десятичной системе, например, для m=6 получается n=3).

12. Дано натуральное число n. Требуется получить последовательность, которая состоит из нулей и семёрок и образует десятичную запись некоторого натурального числа, делящегося на n. (Воспользуемся тем, что в числовой последовательности 7, 77, 777, … обязательно найдутся два члена, дающие при делении на n один и тот же остаток).

13. Дано натуральное число m (m<27). Получить все трёхзначные натуральные числа, сумма цифр которых равна m.

14. Получить все шестизначные счастливые номера. (Про целое число n, удовлетворяющее условию 0≤n≤999999, говорят, что оно представляет собой счастливый номер, если сумма трех его первых цифр равна сумме трех его последних цифр; если в числе меньше шести цифр, то недостающие начальные цифры считаются нулями).

15. Даны взаимно простые натуральные числа р, q (р < q). Найти периодическую и непериодическую части (две последовательности однозначных неотрицательных чисел, разделенных числом -1) десятичной дроби, равной p/q.

16. Получить все четырехзначные натуральные числа, в записи которых нет двух одинаковых цифр.

17. Даны натуральные числа n, m, неотрицательные целые числа а_m, а_m-1, …, а₀, такие, что а_mа_m-1…а₀ – запись n в некоторой системе счисления (среди а_m, а_m-1, …, а₀ могут быть и числа, большие девяти, - это будет означать, что основание системы счисления заведемо больше десяти). Требуется определить основание использованной системы счисления.

18. Даны натуральное число n, действительные числа Знаки чисел в каждой из троек могут образовать одну из следующих комбинаций: + + +, + + —, + — +, + — —, — + +, — + —, — — +, — — —. Получить целые , равные количествам вхождений в последовательность указанных троек , с той или иной комбинацией знаков.

19. В последовательности действительных чисел выбрать подпоследовательность , для которой значение является наибольшим. (Перебрать все подпоследовательности данной последовательности путем рассмотрения всех последовательностей из нулей и единиц: входит в подпоследовательность, если . Использовать решение задачи 9а.

20. Дано натуральное число n; представить его в двоично-десятичной системе счисления. Последнее означает, что надо получить последовательность двоичных цифр - нулей и единиц; при этом первые четыре двоичные цифры дают запись (в виде двоичного числа) первой (старшей) десятичной цифры числа n, следующие четыре двоичные цифры - запись второй десятичной цифры числа n и т. д. Таким образом, общее число двоичных цифр должно делиться на 4. Примеры: если n=93, то двоично-десятичная запись n есть 10010011; если n=607, то – 011000000111 и т. д.

21. Даны натуральное число m, двоичные цифры . Рассматривая последовательность как запись некоторого натурального n в двоично-десятичной системе (см. предыдущую задачу), найти натуральное n в десятичной системе.

22. Доказать, что любое натуральное число n можно единственным способом представить с помощью некоторых целых неотрицательных в виде при условии, что

Дано натуральное число n; найти соответствующие

23. В качестве основания позиционной системы может быть взято отрицательное целое число. Например, можно рассмотреть систему с основанием -10. Любое целое n единственным образом представляется в виде суммы , где Из сказанного следует, что любое целое n записывается в системе с основанием -10 в виде целого числа без знака

Дано целое число n. Построить представление n в системе с основанием -10, т. е. найти соответствующие

24. «Римские цифры».

а) Проверить, правильна ли запись числа римскими цифрами.

б) Записать данное целое число из диапазона от 1 до 1999 римскими цифрами.

в) Перевести число, записанное римскими цифрами, в десятичную систему.