Додаток б Варінти завдань

Раздел 1. Решение задач целочисленной арифметики (задачи, основанные на свойствах чисел, составляющих их цифр).

I. Теоретические вопросы:

Данные и их представление в памяти;

Классификация и основные характеристики типов данных;

Арифметические типы данных, операции над ними;

Выражения, приоритет операций;

Обработка числовых данных;

Обработка числовых массивов данных;

Практическое значение задач целочисленной арифметики.

II. Задачи для самостоятельного решения:

1. Дано натуральное число п. Получить все пифагоровы тройки натуральных чисел, каждое из которых не превосходит n, т. е. все такие тройки натуральных чисел a, b, с, что а²+b²=с² (а≤b≤с≤n).

2. Треугольником Паскаля называется числовой треугольник

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

в котором по краям стоят единицы, а каждое число внутри равно сумме двух стоящих над ним в ближайшей строке сверху. Дано натуральное n. Получить первые n строк треугольника Паскаля.

3. Составить программу, которая находит количество различных простых множителей в разложении числа на простые множители.

4. Найти НОД (наибольший общий делитель) двух введённых чисел.

5. Найти НОК (наименьшее общее кратное) двух введённых чисел.

6. Найти НОД (наибольший общий делитель) массива натуральных чисел.

7. Найти НОК (наименьшее общее кратное) массива натуральных чисел.

8. Вывести цифры и их количество, используемые для записи натурального числа.

9. Вывести возрастающую последовательность двузначных чисел с разными цифрами.

10. Вывести все делители данного натурального числа.

11. Составить программу, проверяющую является ли данное число простым.

12. Вывести на экран все простые числа из данного промежутка.

13. Дано натуральное число N. Разложить его на простые множители.

14. Даны натуральные числа N и M. Определить, являются ли они взаимно простыми. Взаимно простые числа не имеют общих делителей, кроме 1.

15. Составить программу, проверяющую является ли данное число совершенным. Совершенным считается число, равное сумме всех своих делителей, не превосходящих самого числа. Например, 6=1+2+3.

16. Найти сумму цифр введённого натурального числа.

17. Определение суперпростого числа. Суперпростым числом называется число, обладающее замечательным свойством: само оно простое, простыми являются любые разбиения его цифр на две части. Например, число 1997 – простое, и разбиение на 1-997, 19-97, 199-7 – простые. Требуется найти все такие числа для заданного количества значащих цифр.

Замечание: “Число 1 может быть отнесено к простым числам; однако предпочтительно выделять его особо, не относя ни к простым, ни к составным”. (М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике. 1965 г.)

18. Найти число из данного промежутка, равное кубу суммы всех своих цифр. Например, 512=(5+1+2)³.

19. Дано натуральное число N. Определить, является ли оно палиндромом. Число-палиндром можно читать справа налево и слева направо одинаково. Например, 4; 88; 121; 767767.

20. Найти все меньшие 100 натуральные числа, которые при возведении в квадрат дают палиндром.

21. Найти все меньшие 100 натуральные числа-палиндромы, которые при возведении в квадрат также дают палиндромы.

22. Вводится шестизначное число. Проверить, “счастливый” ли это билет.

23. Среди всех шестизначных чисел проверить и посчитать количество “счастливых” билетов.

24. Дано натуральное число N. Определить, является ли оно автоморфным. Автоморфное число N равно последним разрядам квадрата этого числа. Например, числа 5, 6, 25, так как 5²=25, 6²=36, 25²=625.

25. Составить программу, которая по введённому возрасту k (k-количество полных лет, 1≤k≤99), выдаёт сообщение в правильной виде “Мне k лет” (год, года).

26. Вводимое натуральное число вывести как единое число, расположив цифры в обратном порядке.

27. Составить функции, моделирующие арифметические действия с обыкновенными дробями, при этом результат должен быть представлен в виде несократимой обыкновенной дроби.

28. Составить функцию, которая добавляет к дате заданное количество дней с учётом всевозможных корректировок переходов к следующему месяцу и году.

29. Известно, что 1 января 2009 года –четверг. Для любой заданной даты программа должна выводить день недели.

30. Известно, что 1 января 2009 года – четверг. Программа должна найти все “чёрные вторники” и “чёрные пятницы” 2009 года (то есть 13 числа).

31. Дано натуральное число n. Найти все меньшие n числа Мерсена. (Простое число называется числом Мерсена, если оно может быть представлено в виде 2^р - 1, где р-тоже простое число.).

32. Два натуральных числа называют дружественными, если каждое из них равно сумме всех делителей другого, кроме самого этого числа. Найти все пары дружественных чисел, лежащих в диапазоне от 200 до 300.

33. Натуральное число из n цифр является числом Армстронга, • если сумма его цифр, возведенных в n-ю степень, равна самому числу (как, например, 153= 1³+5³+3³). Получить все числа Армстронга, состоящие из двух, трех и четырех цифр.

34. Рассмотрим некоторое натуральное число n. Если это—не палиндром, то изменим порядок его цифр на обратный и сложим исходное число с получившимся. Если сумма—не палиндром, то над ней повторяется то же действие и т. д., пока не получится палиндром. До настоящего времени неизвестно, завершается ли этот процесс для любого натурального n.

Даны натуральные числа k, l, m (k≤l). Проверить, верно ли, что для любого натурального числа из диапазона от k до l процесс завершается не позднее, чем после m таких действий.

35. Рассмотрим некоторое натуральное число n (n > 1). Если оно четно, то разделим его на 2, иначе умножим на 3 и прибавим 1. Если полученное число не равно 1, то повторяется то же действие и т. д., пока не получится 1. До настоящего времени неизвестно, завершается ли этот процесс для любого n > 1.

Даны натуральные числа k, l, m (1≤k≤l). Проверить, верно ли, что для любого натурального n из диапазона от k до l процесс завершается не позднее, чем после m таких действий.

36. Найти все простые несократимые дроби, заключенные между 0 и 1, знаменатели которых не превышают 7 (дробь задается двумя натуральными числами — числителем и знаменателем).

37. Дано натуральное число n. Выяснить, можно ли представить n! в виде произведения трех последовательных целых чисел.

38. Дано натуральное число m. Вставить между некоторыми цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, записанными именно в таком порядке, знаки + , — так, чтобы значением получившегося выражения было число m. Например, если m=122, то подойдет следующая расстановка знаков: 12 + 34—5—6 + 78 + 9. Если требуемая расстановка знаков невозможна, то сообщить об этом.

39. Дано натуральное число n. Получить в порядке возрастания n первых натуральных чисел, которые не делятся ни на какие простые числа, кроме 2, 3 и 5.

40. Даны натуральные числа а₁, ..., а₁₀. Предположим, что имеются 10 гирь весом а₁, ..., а₁₀. Обозначим через c_k число способов, которыми можно составить вес k, т.е. c_k - это число решений уравнения а₁ x₁+...+а₁₀ x₁₀ = k, где x_i может принимать значение 0 или 1 (i = 1, ..., 10). Получить c₁, ..., c_10.

41. Даны натуральные числа а₁, ..., а₁₀. Предположим, что имеются 10 видов монет достоинством а₁, ..., а₁₀. Обозначим через b_k число способов, которыми можно выплатить сумму k, т. е. b_k - это число решений уравнения а₁ x₁+...+а₁₀ x₁₀ = k, где x_i может принимать целые неотрицательные значения. Получить b₀, ..., b₂₀.

42. Дано натуральное число n. Как наименьшим количеством монет можно выплатить n копеек? Предполагается, что в достаточно большом количестве имеются монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20 и 50 коп.

43. Дано натуральное число n (n≥5). Получить все пятерки натуральных чисел х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ такие, что. х₁≥х₂≥х₃≥х₄≥х₅ и х₁+х₂+х₃+х₄+х₅=n.

44. Дано натуральное число n (n≤99). Получить cпособы выплаты суммы n с помощью монет достоинством 1, 5, 10 и 20 коп.