§13. Өзара перпендикуляр тербелістерді қосу. Лиссажу

фиғуралары.

Екі еркіндік дэрежесі бар жүйені, яғни орнын белгілеу үшін екі

шама кажет болатын жүйені карастырайык. Бұған шарик пен серіппе

бір жазықтықга маятник тэрізді тербеліс жасайтындай етіп, бір ұшы

шарнирге бекітілген жеңіл ұзын серіппеге ілінген ауыр шарик осыған

мысал бола алады. Серіппе осінің вертикальмен жасайтын <р

бұрышын және шарнир осінен шарик центріне дейінгі / қашыктыкты

бере отырып шариктің орнын анықгауға болады. Шариктің екі

тербеліске, біріншіден, <р бұрышы өзгеретін тербеліске, екіншіден, I

кашықгығы өзгеретін тербеліске қатысуы мүмкін. Бірінші тербелістің

жиілігі серіппенің / ұзындығы жэне ауырлык күшінің # үдеуімен,

екінші тербелістің жиілігі серіппенің к серпімділік коэффициенті жэне

шариктің т массасымен анықталады. Егер екі тербелісті бірден

қоздырсақ, онда шарик, жалпы айтқанда,

формасы екі тербелістің жиіліғі мен бастапкы

фазасына тәуелді болатын кейбір күрделі

траекториямен қозғалады (15-сурет).

Екінші мысалға ұзын жіңішке жіпке

ілінген ауыр шарикті (математикалық

маятникті) қарастырайық. Бұл шарик бір-

біріне перпендикуляр бағытта екі тербеліс

жасай апады, сонымен катар екі тербелістің

жиілігі бір-біріне дәл келеді (екі жиілік те

маятниктің / ұзындығы мен # ауырлык күші-

28

ііііі үдеуі арқылы аныктапады). Бұл жағдайда, жалпы айтканда, шарик

(|іормасы екі тербелістін фазалар айырмасына тэуелді болатын кейбір

кисык траекториясының бойымен козғалады.

х және у координата осьтерінің бойымен бірдей со жиілікпен

тербелетін өзара перпендикуляр екі тербелісті косуға көшейік.

Уакыт есебінің басын бірінші тербелістің бастапкы фазасы

нольге тең болатындай етіп таңдап алайык. Онда тербеліс теңдеуі

Гіылай жазылады:

мұндагы а-екі тербелістің фазалар айырмасы.

Осы (68) өрнек, екі тербеліске бірдей катысушы дене

козгалатын траекториянын параметрлік тендеуі болады. Тра-

ектория теңдеуін эдеттегідей түрде беру үшін (68) теңдеуінен уакытгы

жою керек. Ол үшін бірінші теңдеуден мынаны алуға болады:

Енді со5 соі жэне 5іп ал шамаларының (69) жэне (70)

ирнектеріндегі мэндерін орнына қойып (68) теңдеуінің екіншісінен

косындының косинусына арналған формула бойынша косинусты

шпып жазайық. Осының нәтижесінде мынаны аламыз:

Онша күрделі емес түрлендірулерден кейін соңғы теңдеуді мына

і үрге келтіруге болады:

Аналитикалык геометриядан (71) тендеуі, осьтері х жэне у

координата осьтеріне катысты бағыты калауымызша алынган эллипс

гсңдеуі екендігі белгілі.

Кейбір жеке жағдайлардағы траектория формасын зерт-

іейік.

1. Фазапар айырмасы нольге тең. Бүл жағдайда (71) тендеуі

мынадай түр қабылдайды:

х = а соз оп, у = Ьсоі(о>1 + а) (68)

(69)

Олай болса,

(70)

АХу . 2

— — С 0 5 ≪ = 51П а . (71)

бұдан түзудің теңдеуі шығады

29

у = -ь х.

а

(72)

Тербеліп тұрган нүкте осы түзудін бойымен орын ауыстырады,

эрі оның координата басынан кашыктығы г = ^ х 1 + у 1 шамасына тең.

Бүган х жэне у үшін (68) өрнегін қойып және а = 0 екендігін ескерсек,

г шамасынын уақыт бойынша өзгеру заңын аламыз:

г = л/а2 + Ь' созюі. (73)

16-сурет 17-сурет

Осы (73) өрнегінен қорытқы козғалыс (72) түзуі бойымен <о

жиілікпен жэне 7 а 2 +Ь2 шамасына тен амплитудамен тербелетін

гармониялык тербеліс екендігін кореміз (16-сурет).

2. а фазалар айырмасы ±л--ге тең. (71) тендеуі мына түрде

жазылады:

ч 2

( м ь

бұдан қорытқы қозғалыс у = — х түзуінің бойымен тербелетін

а

гармониялық тербеліс екендігі шыгады (17-сурет).

3. а = ± у болғанда (71) теңдеуін былай жазуга болады:

^ + ^ = 1 (74)

яғни координата осьтеріне келтірілген эллипс тендеуіне

айналады, эрі эллипстің жарты осі тербеліс амплитудаларына тең. а

жэне в амплитудалар тең болғанда шеңберге айналады а = + ^ жэне

а = - — жағдайлары эллипс немесе шеңбер бойымен бағытталған

30

козгалыстың багыты аркылы ажыратылады. Егер а = +— болса, (68)

іеңдеуін былай жазуға болады:

х = асоьсоі, у = -Ьъіпт. (75)

Осы айтылгандардан, өзара перпендикуляр тербелістердің

жиілігі өте аз Дсо шамага ажыратылган жагдайда оларды жиіліктері

бірдей, бірак фазалар айырмасы баяу өзгеретін тербеліс ретінде

карастыруга болатынын көреміз. Шынында да тербеліс теңдеуін

юмендегідей түрде беруге болады: х = асоьсоі, у = Ьсоз^о/ + (Асоі + а)]

жоне Асоі + а өрнегін уакыт бойынша сызыктык заңмен баяу өзгеретін

і|іазалар айырмасы ретінде карастыруға

болады.

Қорыткы козғалыс бұл жағдайда

фпзапар айырмасының -я--ден +я--ге

дейінгі мәндеріне сай келетін форманы

(ііртіндеп кабылдайтын, баяу өзгеретін

кисык сызык бойымен өтеді.

Егер өзара перпендикуляр

ісрбелістердің жиіліктері бірдей болмаса,

шіда корыткы қозғалыстың траекториясы

Лнгсяжу фигурялары деп аталатын өте

күрделі кисык сызық түрінде болады.

Солардың бірі ретінде мына 18-

сурсіте, жиіліктер катынасы 1:2 жэне

фінолар айырмасы ^ бол-ғанда алынған

мірапайым тра-екториялардың бірі

кирсстілген. Тербеліс теңдеулері мына түрде

жігіылады:

х = а соз соі, у = Ьсо&(2соі + ү ) .

Нүкте х осі бойымен бір шектік жағдайдан екінші жағдайға

орі.ііі ауыстырып үлгергенше у осі бой-ымен нольдік калыптан шыга

шмрып, бір шектік жағдайга, сонан соң, екіншісіне келіп жэне

і і і н і ь д і к жагдайға жетіп үлгереді.

Жиіліктері 1:2 қатынасындай жэне фазалар айырмасы нольге

Тсң болганда траектория бойымен қозғалған нүкте бір ұшына барып,

к і і і і і іі кайтатын қисық сызыққа айналады (19-сурет).

Тербеліс жиіліктерінің катынасын өрнектейтін рационал бөлшек

мсіүрлым бірге жақындаган сайын, соғұрлым Лиссажу фигуралары

һүрдвлене береді.

31