I 'омдыктан кернеулік векторының ша- ------

мтын, жүргізілген кернеулік сызық-

іирымың санымен байпаныстыратын

Ц|*рт енгізуіміз керек. Ол үшін ойымыз-

иій кернеулік сызықтарына перпенди-

нүііир етіп, бір Д8 0 ауданша жүргізейік (5-сурет). Сонда Д8 0 беттің

#рЛір бірлігіне келетін, кернеулік сызықтарының саны Е кернеулік

й г к юрының сан мэніне тең болады, яғни, мынадай шарт орындалады:

ІД5г0 = . - (12)

Осы шарт орындалғанда Ё -векторының шамасы кернеулік

і ы іыктарының жиілігімен байланысты болып шыгады.

Бір толык бетті тесіп өтетін кернеулік сызықгарының жалпы

гінм.ін сол беттен өтетін кериеулік агыны дейді. Оны N әріпімен

Іілгілейді. Сонда осы элементар Д8 0 ауданшадан этетін сызықтар

•йііы ДЫ сол ауданшадан өтетін элементар агын болады.

5 -суреі

215

Енді Е сызықтары Л8 ауданшаға а бұрыш жасай түскен кездегі

сол Д50 ауданшадан өтетін сызыктардың санын аныктайык (5-сурет).

Мұндағы а - (плё ), ал

Сонда, Д8 0 ауданшадан ететін сызыктардың барлығыда Д8

ауданшадан да өтеді. Сондыктан (12) өрнек бойынша

АМ=ЕА80 =Л5 соза■ Е=ЕпЛ5

Е„ = Есоза. (13)

Бұл қатыс кез-келген бағытта орналасқан Д8 элементар беттен

өтетін Е сызықтарының элементар ағынын анықтайды. Сонда,

берілген 8 толық бет үшін:

/V - Е,с18. (14)

Агынның таңбасы Я нормальдың оң таңбасы деп аталатын

багытымен Е векторының қандай бұрыш жасайтынына байланысты

болады. (14) өрнек бойынша мынандай корытынды жасауға болады.

Кез келген бетті тесіп өтетін Е сызықтарының саны N. сан жағынан

алғанда мына ￡ийК шамасына тең болады. Жалпы алганда осы (14)

өрнекпен аныкталатын агын алгебралык шама. Бірақ оның таңбасы N

ағынды есептегенде 8 бетті бөлетін с18 элементар ауданшаларга

түсірілген п нормальдың бағытын таңдап алуға байпанысты.

Сондықтан, нормальдың багытын қарама-қарсы багытқа езгерту Е„

таңбасын өзгертеді, ендеше ол агынның да таңбасын қарама-қарсы

бағытқа өзгертеді.

§6. Остроградский-Гаусс теоремасы және онын электр өрісін

есептеуге колдану.

Өткен такырыпта айтқанымыздай нүктелік зарядты қоршаган

кезкелген г радиусты сфералық бетті киып өтетін кернеулік

сызықтары және оның саны ( 1 1 ) формула бойынша мынаған тең:

N = 4ля немесе ( - —)

Ј0

(14)-өрнекке сэйкес қандай да бір бет арқылы өтетін кернеулік

векторының ағыны сан жағынан осы бетті қиып өтетін кернеулік

сызықтарының санына тең, демек зарядтарды коршаған сфералық бет

аркылы өтетін кернеулік векторының ағыны

N - Ф - о Е„сі5 = 4тщ немесе ( = — ) (15)

≪0

осыдан ағынның таңбасы зарядтың таңбасымен дэл келетіндігін

көреміз. Егер бет тұйык жэне заряд бар болса, кезкелген формалы бет

216

6-сурет

үшііі де кернеулік векторының

йіі.іны 4щ немесе ц/ео тең бола-

іыіідығын дэлелдейік. Әжімі жок

(кыргысы жок) бет үшін (6 а)

«уретгегідей) бүл түжырым езінен

йіі яйқын. Шынында да мүндай

Псі сфералық бет сиякты әрбір

ксрнеулік сызығымен бір-бір

рсгісн киылысады. Әжімі бар бет

яркылы өтетін агынды

іч сптегенде кернеулік сызығының

мн.ілысу саны карастырып

ОТырган жагдай үшін тек қана тақ болатындығын, сонымен бірге бүл

Циылысулар жалпы алганда бірде оң, бірде теріс үлесін алма-кезек

ЙОСЫП отыратындыгын ескеру керек. Нәтижесінде берілген сызык

ввтгі канша рет қиып өтпесін ағынға қосылатын қорытынды үлес не

♦ I. (акырында сыртка шығатын сызыктар үшін) не -1 тең болады

(ІИікс кіретін сызықтар үшін).

Сөйтіп түйықталған беттің формасы кандай болғанымен де ц

Иүкгслік зарядты қоршаған осы бетгі тесіп өтетін кернеулік

Икторының ағыны 4щ (немесе <\!го) тең болады.

Қандай да бір түйықталған беттің ішінде кез келген таңбалы

ц,.і| . ...я„ нүктелік зарядтар бар екен дейік. Сонда аныктама бойынша

(14) орнекке сэйкес N =* Ф = оЕ„с18.

Өрістер суперпозициясы принципінің негізінде

= Е„\ +Еп2 +... + Е„, = .„,. (16)

Сонда

Ф - о ( Е*)<15- 0 ЕМСІЗ

(II) орнек бойынша о .„,<.■ = 4 п я,

3

Щ.

Сондықтан Ф - оЕпс18 - — (- 4п д,)

$ е0 м і-1

(17)

бүл өрнек Остроградский-Гаусс теоремасының дэлелденуі

Пічм.ім табылады. Оны бүлай түжырымдауға

Л*иі»-ды:

'Гүйыкталған бет аркылы өтетін

и г к і р өрісі кернеулік векторынын агы-

ИЫ осы беттін ішінде коршалған заряд-

217 7-сурет

тардың алгебралык косындысын Ео-ге бөлгенге (немесе 4я-ге

көбейткенге) тен. Егер бет ішінде зарядтар болмаса онда агын

нольге тен болады Ф=0 (7 сурет).

Егер заряд көлемдік тыгыздыгы р = — болатын тұйыкталған

сіУ

беттің ішінде үздіксіз таралса онда Остроградский-Гаусс теоремасы

мына түрде жазылуы керек

Ф = оЕ п(18 = — р а ү (=4тг рсІҮ). (18)

Енді Остроградский-Гаусс теоремасына сүйіне отырып бірнеше

жеке жағдайлар үшін еріс кернеулігін анықтайық.