§4. Бір қалыпты және бір қалыпты айнымалы түзу

сызықты қозгалыстар.

Материялық нүкте түзу сызық бойымен қозғала отырып, бірдей

уақыт аралығында бірдей шамаға орын ауыстыратын болса, ондай

10

козғалысты бір к алыпты түзу сызыкты козғалыс деп атайды.

Нүктенің бір қалыпты түзу сызыкты қозғалыстағы Д.? жүрген жолы

орын ауыстыру векторының абсолют шамасына тең; д$= Дг|. Сонда,

(4) өрнек бойынша и =— түрінде жазылады. Егер А5 = х - х 0, ал

сіі

& = деп алсак, онда 5 -5 0=о(і-і„) болады. Осыдан, бір қалыпты

түзу сызыкты қозгалыста жүрілген жол

5 = 50 + и ( і-і0). (9)

Бастапқы уақыт мезетінде (і„ = 0), 50 = 0 болса, онда бір

қалыпты түзу сызықты қозғалыс жылдамдығының өрнегі (9)

формулаға сәйкес мынаган тең болады.

о Л . (10)

Бір қагтыпты түзу сызыкты қозгалыстың аныктамасы бойынша

оның жылдамдығы тұракты шама

о=тұр. (11)

Айнымалы қозгалыстар эртүрлі болады. Олардың ең карапайым

түрі, бір қалыпты айнымалы қозгалыс.

Бір қ алыпты айнымалы козгалыс деп, бірдей уақыт ара-

лығында дененін жылдамдығы бірдей шамаға өзгеріп отыратын

қозғалысты айтады. Басқаша айтқанда үдеуі тұракты қозгалыс, яғни

~а =Т.Р- О 2)

Бір қалыпты айнымалы қозгалыстагы дененің жылдамдығы

өзара тең уақыт аралықтарында бірдей шамаға артып отырса (а > 0),

мұндай қозгапысты бір қалыпты үдемелі деп, ал егер бірдей шамаға

кеміп отырса (а < 0), мұндай қозғалысты бір қалы п ты баяу қозғалыс

деп атайды.

Есептің шартына байланысты дене қозғалысын аныктай

отырып, мына формулаларды қолдана білу керек.

Бір калыпсыз

қозгалыс

Түзу сызықты бір

қалыпты қозгалыс

Түзу сызықты бір

қалыпты айнымалы

қозгалыс

II

8 = 5^0 + о{і — /0)

Оэ

II

н-

ю |а

и = —сІЗ и = — V = и0 + аі

Л (

О II

&!§■ а

=

0

а

=

тұр

II

§5. Қисык сызықты козғалыс. Қозғалыстардын тәуелсіздік

принципі.

Траекториясы кисык сызык болып келетін козғалыстарды

кисык сызықты козгалыстар деп атайды.

Денелердің кисык сызыкты козғалыстары олардың жыл-

дамдыктарының бағытына бұрыштай әсер ететін күштердің

салдарынан болады. Кез келген кисык сызыкты козгалыс күрделі

қозғалыс, өйткені козгалыстағы дене бірнеше қозғапысқа қатысады.

Бүл жағдайда қозғалыстың тәуелсіздік принципі сакталады. Осы

принцип былай айтылады: егер дене бір уақыт мезетінде бірнеше

қозғалыска қатысатын болса, онда олардың эр қайсысы бір-біріне

тэуелсіз қозғалыс тудырады.

Осы принципті пайдаланып эртүрлі қисық сызықты қозғалыс

заңдарын анықгауға болады. Мысалы, горизонтқа бүрыш жасай

лақтырылган денелер қозғалысы.

Қисык сызыкты козгалыстыц карапайым түрлері гори-

зонталь л ак ты ры лган және горнзонтка бүрыш жасай лакты-

рылган дене қозғалыстары. Бүп жағдайларда денелер парабола

бойымен козгалады. Егер координаттар осьтерін ОХ-ті горизонтапь,

ап ОҮ -ті вертикаль багыттасак, онда горизонтапь лақтырьшған дене

ОХ өсі бойымен түзу сызықты бір қалыпты қозғалып, ОҮ өсі

бағытында еркін төмен түседі. Сонда дененің қозғалыс теңдеуі былай

жазылады:

х = х0+и0і, у = у„+—аі1 . (л1ч3ч)

Осы тендеулерден уақытты жойып траекторияның тендеуін

табамыз. Траекторияның кез келген нүктесіндегі жылдамдық мына

формуламен аныктапады.

и = у]и0 + а212 . (14)

Егер дене и0 жылдамдықпен горизонтқа а бүрыш жасай

лақтырылса, онда осы дененің қозғалыс зандарын былай анықтаймыз.

Координаттар жүйесінің бас нүктесі дененің лақгырьшған

нүктесімен дэл келеді деп есептейік (6-сурет).

Сонда, и0 жылдамдықпен горизонтқа а бүрыш жасай лақты-

рылған дененің жылдамдық векторының кез келген уақыт мерзімінде

ОХ жэне ОҮ осьтеріне проекцияларын (6-сурет) былай табамыз

их =и0со$а, иу =и0в\па~8і ■ (15)

12

Осыдан о = — ,о = —

л л

екенін ескере отырып (15) өрнектерді

инте-гралдау аркылы дене козғалысын кез-келген уакыт мезетінде

аныктайтын мынандай тендеулерді аламыз

х = и0ісо$а, у = иаі$ іп а -^9ү.1'-. (16)

Осыдан уақытты жойып дененің траекториясының тендеуін

табамыз.

.,2

У = *і%а - -

Бұл

(17)

2и] соз2 а

мына (7-суретте) көрсетілгендей

парабола болады. Осы траекторияның

бойындағы кез келген нүктенің и жыл-

дамдыгын кез келген / уакыт мезетінде (15)

өрнектерді пайдаланып былай табамыз:

и = ^и„ -2и„іі$іпа + § 2і2 . (18)

Жылдамдық векторы кез келген уакыт

мезетінде траекторияға жүргізілген жанаманың

бойымен бағытталатын болғандыктан, дене

траекторияның ең жоғаргы нүктесіне

көтерілген кезде (осыған көтерілуге кеткен

уакытгы Ті десек) иу = 0 болатындығын 7-

суретген көруге болады. Сондыктан, (15) өрнек

бойынша ы„ 8Іп а - Ј Г , = 0.

Осыдан дененің жоғары көтерілуге

кеткен уакыті

лзіпа

Т,=- (19)

болады. 7-суреі

Дене осы Т| уакыт ішінде ең үлкен

биіктікке Н көтерілетін болғандыктан, қозгалыс теңдеуін (16) өрнекті

пайдаланып оны былай табамыз.

Н = і>0Т. 5іп а - яТ2 .

2

Осьщан (19) өрнекті ескерсек дененің ең жоғарғы көтерілген

биіктігі мынаған тең

.2 .

н = - % и (І 5іп а _ ц, 5іп а

2 ? 2 І ~

(20)

екенін көреміз.

13

ц, жылдамдыкгіен горизонтка а бұрыш жасай лактырылган

дененің жерге түскенге дейінгі кеткен уакытын Т деп белгілесек онда

осы мезетте (7-сурет)

х = $,у = 0

болады. Дене козғалысының теңдеуі (16) өрнекті пайдаланып

и0Тсо$а = 5 (21)

и0Т зіп а - = 0 (22)

(22) өрнектен Т=0 (дененің бастапкы уакыт мезетіне сэйкес)

жэне

т=2”°™ а (23)

г

табамыз. Осы өрнекті (19) өрнекпен салыстыра отырып дененің

жерге түскенге дейінгі жалпы уакыты, сол дененің жоғары көтерілуге

кеткен уакытынан екі есе көп екенін көреміз. Бүдан, егер ауаның

кедергісін есепке апмасак, и„ жылдамдыкпен горизонтка абүрыш

жасай лактырыпған дененің жоғары көтерілуге кеткен уакыты төмен

түсуге кеткен уакытына тең болғандығын байқаймыз. Осы

лактырылған дененің канша 5 кашықтыкка түсетіндігін анықтау үшін

(23) өрнекті (21) өрнекке қоямыз. Сонда

2иІ зіпасоза иг„ .

5 = —12--------------= — зш2 а (24)

г 8

5іпа функциясының ең үлкен мәні а = 90° болғанда 1-ге тең

болатындықтан, дененің ең алыс кашықтыққа түсу шарты бойынша

5іп 2а = 1, яғни 2а = 90°. Осыдан а = 45°. Сондықтан, (24) өрнекке

сәйкес горизонтқа а = 45° бүрыш жасай лақтырылған дене ең алыс

қашықтыққа түседі.

Дененің толық үдеуін табу үшін (15) өрнектерді пайдаланып

үдеудің ох жэне оу осьтеріне қүраушыларын табамыз

ах=—т = 0, ау = ~ г = -

8 -

Сонда толык үдеу

сІи„ <іоу

•-7Л* - °» ауу —Лт^ а = ^а[!-+ « ;= «■ (25)

Еркін түсу ұдеуіне тең болады. Осы үдеудің тангенциал жэне

нормапь қүраушыларын табу үшін мына

а = + а] (26)

өрнекті пайдаланамыз, мүндағы

а = — = ~ 2ио ^ 5Іпа-Я ^ 2 (27)

Р Р

14

сіи ￡(￡*-Ц,8Іпа) (28)

<* ^ и 2 -2и „./5Іп а-.2

/7 - траекторияның кисыктык радиусы. Траекториянын кисыктык

радиусын (25), (26) жэне (27) өрнектері бойынша былай табуға

болады

Р = (29)

8 № ■

Енді ц, жылдамдыкпен Н

биіктіктен горизонталь л актыры л-

ган дене козгалысынын тендеуін

табайык (8-сурет). Ол үшін

координаттар жүйесінің бас нүктесінен

Н биіктіктегі, М нүктені лактырылған

дененің бас нүктесі деп апайык. Сонда

дене қозгалысының тендеуі

X = IV,

У = Н - Ј ■ .

» X

(30)

Осыдан уақытты жойып траекторияның теңдеуін табамыз.

2

■ Н 8*

2у2

(31)

Бұл парабола болады (8-сурет). Осы траекторияның бойындағы

кез келген нүктенің и жылдамдығын анықгау үшін, осы жылдамдық

векторының ОХ жэне ОУ осьтеріне проекцияларын табу керек.

у, =^о ,» ,= -&

Осыдан и = ^и] + %2і2 . (32)

Дене жерге түскен Т уақыт мезетінде, дененің түскен нүктесінің

координатгар жүйесінің бас нүктесінен биіктігі у - 0 , ал

аракашықтағы х = 5 болады.

Сондықтан Н — —е—Т2 = 0 жэне 5 = и0Т . Осыдан дененің жерге

түскенге дейін кеткен уақыт

Т = -■Дн

8

(33)

тең болса, координаттар жүйесінің бас нүктесінен ара

қашықтыгы

15

5с = и„Гт- = и , \-2-Н-- (34)

тең болады.

Дененің жерге түскен Т уакыт мезетіндегі и жылдамдыгын (33)

өрнекті пайдаланып (32) өрнектен былай табамыз

о = 7°о ~2%Н. (35)

Дененің толык жылдамдыгы и қанша уақыттан кейін гори-

зонтпен а бұрышын, ал вертикаль багытпен р бұрышын жасай-

тындыгын анықтау үшін 8-суретті пайдаланамыз. Сонда

і%а

V. Ц> 8‘

(36)