§4. Қос күш, кос күштін моменті.

Қос күш деп, шамасы бойынша бір-біріне тең, қарама-қарсы

Оиі і.гггалган, бір түзудің бойымен әсер етпейтін екі күшті айтады (34-

Оурст). Өн бойымен күштер эсер ететін түзулердің /-арақашықтығы

К»г күштін иіні деп аталады. Қос күштің кез келген нүктеге катысты

М і ім с і і т і біреу-ақ болатындығын көрсетейік. Мұны ең әуелі күш әсер

• і«• і ііі жазықтықта жатқан нүкте үшін дәлелдейік (34-сурет). / , жэне

55

■*/1

һ

1-

и

34-сурет

і 7 ,

/ г күштердің бірдей модулін / эрпімен белгілейік. / , күш моменті

Д -ге тең жэне ол бізге қарай

багытталган, ал / г күш моменті /Iг -ге тең

жэне ол чертежден эрі қарай багытгалган

жэне ол мынаган тең;

М - /Іг - /I, = /( /, -/,) - /I .Осыдан шық-қан

өрнек қос күш жатқан жазық-тықтагы 0

нүктесінің орнына тэуелді емес. Енді 0

нүктесін қалауымызша таңдап алайық

(35-сурет). Осы нүк-теден / , жэне / г

күштері түсетін нүктеге дейін г, жэне п

радиус-векторларын жүргізейік. / , күші

түсетін нүктеден / г күші түсетін нүктеге

дейін п 2 векторын жүргізейік. Осыдан

мынау айқын:

Гг = Г, + Г 12. (4)

/ , жэне / г күштердің қосынды

моменті мынаган тең:

м ” 1Гі7і ]+Һ / 2|

г 2-ні (4) формулага сэйкес алмастырып жэне векторлық

көбейтіндіні пайдаланып, мынаны жазуга болады:

м =[г ' 7 , \ Л Г ' +^ ) / :2 ]= һ 7 1]+[п72]+[г,2 7 2].

/ , = -/г^олғандықтан, алдыңғы екі қосылғыштар өзара

жойылып кетеді де, ақырында мынау шығады:

М=[г,2~/г\.

Осыдан қос күштің моменті күш жатқан жазықтыққа перпен-

дикуляр жэне сан жагынан күштердің кез келгенінің модулі мен күш

иінінің көбейтіндісіне тең екендігін көреміз.

7 ,

§5. Қатты дененін инерция моменті мен импульс моменті.

Қатты дененің айналысын динамика түргысынан қарастырганда,

күштер ұгымымен қатар күштер моменттері деген үгым, масса

ұгымымен қатар инерция моменті деген ұгымдар енгізу қажет

екендігін жогарьща айтқанбыз. Осы ұгымдардың мазмұнындарын

түсіну үшін, алдымен бір материялық А нүктесінің қозгапысын

карастырайық, оның массасы т болсын, оны радиусы г шеңбер

ПоІІыпда бір байлам ұстап тұратын болсын (36-сурет). Мысапы, осы А

иүктссіне бір тұрақты / күші эсер етіп тұрсын. Сонда А нүктесі

іүрікты и>т тангенциал үдеу алады,

һурііушысы арқылы былай анықталады:

/, - /соз а = (5)

/ күшінің нормаль кұраушысы

Оі і і і і і і ім реакциясымен қосылып нормапь

удсу тугызады. Бұрыштық үдеу

•ІИІісйік, оны р эрпімен белгілейік,

Мвмс ол тангенциал үдеуге тура

нрішорционал да г радиусқа кері

м|іиііорционал бол-сын, ягни Р= — ,

миіда (5) тендіктің орнына мына өрнек

ікйіі.ілады:

/ соза = тгР

бұл өрнектің оң жэне сол бөліктерін г -ге көбейтейік, сонда

/гсо$а=тг2р . (6 )

Сан жағынан / күші мен 0 нүктесінен (айналыс центрінен) /

мүші багытына түсірілген перепендикуляр гсоза ұзындыгының

КвОсІІ і індісіне тең

М = /г соза (7)

мшмасы 0 нүктесіне қатысты күш моменті деп аталады.

Сан жагынан А нүктесінің т массасы мен оның 0 нүктесінен

(« И іш л і .іс центрінен) қашықтыгының квадратының көбейтіндісіне тең

У = тг1 (8 )

мшмасы 0 нүктесіне қатысты А нүктесінің инерция моменті деп

ниідқцы.

М күш моментін жэне У инерция моментін енгізіп (6 ) теңдікті

Аміійй жазамыз:

М = У/3. (9)

I мді (5) жэне (9) теңдіктерді салыстырып қарасақ, сызыктық п,

улууіміц /, күшімен жэне А нүктесінің т массасымен байланысы

ЦМДйй болса, бұрыштық р үдеуінің М күш моментімен жэне У

Нішрцмн моментімен байланысы сондай. Моментгері бірдей

іуінісрдің ықпалынан^ нүктесі бірдей р бұрыштық үдеулерін алады.

I іінымсм, егер массалары эр түрлі материялық нүктелердің инерция

Мнмпптсрі тең болса, олар өздері алатын бұрыштық үдеу жөнінде

імінмлснт болады.

ол-күштің / Т тангенциал

З б с у р е т

57

Енді массасы т материялық нүктенің импульс моментін

қарастырайық. Ол үшін, үдеудің тангенциал құраушысы и>, = —

ДГ

болатындықтан (5) тендеуді мына түрде жазамыз:

/ С08а Аі - тАи .

Бұл өрнектің оң жэне сол бөліктерін г-ге кебейтсек, мынау

шыгады:

/ г сояа Д1 = тгАи. (10)

Мұндагы, /г соз а шамасы 0 айналыс центріне қатысты /

күшінің М моменті болып табылады; сонымен қатар, т массасы мен

г радиусы тұрақгы болгандықтан тгАи көбейтіндісін А(тиг) түрінде

жазуға болады. Сонда (10) теңдік мына түрде жазылады:

МАі = А(тиг). ( 11)

Мына тиг = 1, шамасы, шеңбер бойымен айнапган материялық

нүктенің импульс моменті деп, аталады. МАі шамасы күштер

моментінін импульсы делінеді. ( 1 1 ) теңдік бойынша: нмпульс

моментінін өзгерісі сан жагынан алганда түсірілген күштер

моментініц импульсына тең екендігін көреміз.

Жалпы алганда импульс (қозгалыс мөлшері) моменті векторлық

шама, оның багыты бұргы ережесі бойынша аныкталады; Р векторы

и векторы мен 0 центрі жатқан жазықтыққа перпендикуляр болады,

сондықтан, бұргының басы (сабы) г векторынан (нүктенің радиус-

векторынан) и векторына қарай айнапганда, ол бұргының ілгерілей

козгалган жагына қарай багытгалады.

Сонымен, импульс моментінің (қозгалыс мөлшері моментінің)

векторы 1 - гт и , ягни векторлык көбейтінді больш табылады, жаппы

алгаида ( 1 1 ) тецдік те вектор түрінде жазылуы керек:

МАІ - Д І ,

мұндагы Д 2 импульс моменттерінің векторлық Һ - Ц

айырмасы.

( 1 1 ) теңдікті жылжымайтын осьтен айналған катты денеге де

қолдануға болады. Ол үшін қатты денені, массасы Ат, жеке элемент-

терге бөлеміз.

Сондай элементгердің эрқайсысы үшін (10) теңдік орындалады:

А/г, с о з а ,Д / = г,Ат,Аи,

немесе Аи, = Аеог, болғандықтан,

А/г, С05а, Д/ = Ат,г,гАсо .

Қатты дененің барлық жеке элементтері үшін осындай теңдіктер

жазьш, олардың қосындысын тапсақ, мынау шығады:

58

Д / г( с о 8 а ,Д г - Дт,г,2Д<в,

м ұ н д а ғы Д //, со8 а, = М - қ а т гы д е н е г е ә с е р е т уш і к үш т е р д ің

і

моменті, Длі(г,г - 7 - дененің инерция моменті, сонда ММ - УДш.

I

Берілген оське қатысты катты дененің инерция моменті тұрақты

иі і імі≫ болгандыктан, соңгы теңдікті мына түрде жазуға болады:

М Ы -Щ с о ) ( 12)

мұның оң жагындағы шама Ло көбейтіндісінің өзгерісі болады.

М\і шамасын катты денеге түсірілген күштер моментінін импульсы

дан, ші Ло шамасын жылжымайтын осьтен айналган қатты дененің

һоіі илыс мөлшерінін (импульс) моменті деп атайды.

(12) теңдік бойынша: қатты дененің козгалыс мөлшері

міімснтінін езгерісі сан жағынан оған түсірілген күштер моментінің

импульсына тең болады.

Біз (12) өрнекті шығарганда дененің инерция моментін тұрақты

іі п /корыдық, бірақ қозгапыс кезінде бір себептен инерция моменті

инсрі сн жагдайда да бұл тендік дұрыс болады екен. Бұп жагдайда да

иінііілыс мөлшері моментінің өзгерісі Д(У<в) түсірілген күштер

мимснтінің импульсымен анықталады. ( 1 1 ) жэне ( 1 2 ) өрнектерге

Кйрпі анда, күиггер моменті жоқ (М - 0) болса, қозгалыс мөлшерінің

момснті езгермейді. Бұл салдарды қозғалыс мөлшері моментінің

(ИМііульс моментінің) сакталу заны деп атайды.