§9. Күштердін потенциал өрісі. Консерватнвтік және

консервативтік емес күштер.

Егер дене, кеңістіктің эрбір нүк-

тесінде күші бар баска бір дененің

эсеріне түссе жэне занды түрде нүктеден

нүктеге өзгеретін жағдайда болса, онда

ол денені күштер өрісінде түр деп

айтады. Мысалдар келтірейік:

1. Дене жер бетіне жақын биіктікте

ауырлық күшініц өрісінде болады, ягни

кеңістіктіц эрбір нүктесінде оған вер-

тикаль бойымен төмен карай бағытталған

Р = т% күші эсер етеді.

2. Екінші мысал ретінде қандай да

бір О центріне серіппемен «байланған» М

денесін карастырайық (27-сурет). Серіппенің бір үшы қозгалмайтын О I

нүктесінің айналасында кез келген бағытта шарнирде айнала алады, ал

екінші үшы М денесіне бекітілген. Кеңістіктің эрбір нүктесінде М I

денесіне радиус бойымен (яғни О центрі мен М денесі арқылы өтетін

түзу бойымен) бағытталған күш эсер етеді, ол мынаган тең:

/ = -к ( г - г 0) (31)

мүндағы, г-дененің О центрінен қашықтығы, г0 - I

деформацияланбаган пружинаның ұзындығы, к - пропроционалдык |

коэффициент. Егер г>г0 (пружина созылған) болса, күш центрге қарай

бағытталады да тацбасы «-» болады (күш пен радиус-вектордың

багыты қарама-қарсы болады), егер г<г0 болса, яғни пружина

қысылған болса, күш центрден кері қарай бағытталады да таңбасы «+» I

44

оолады. Қарастырылган күштер өрісі центрлік күштердін центрлік

орісі деп аталатынның дербес жағдайы. Центрлік күштер деп,

ксністіктің эрбір нүктесінде күштің бағыты кандай да бір центрден

огетін, ал күштің шамасы /=/&), осы центрге дейінгі г кашыктыкка

і луелді болатын күшті айтады.

Ауырлык күш өрісі - центрлік күштер өрісінің дербес

жагдайы.

Жогарыда келтірілген мысалдарға тән нәрсе, денеге әсер етеін

куштер тек кана дененің кеңістіктегі түрған орнына ғана байланысты

болып, сол дененің жылдамдығына байланысты болмауы екен.

Дененің түрган орнына гана байланысты болатын күштер үшін,

олардын денеге катысты істейтін жүмысы, дененің орын ауыстыру

жолына тәуелді болмай, дененің кеңістіктегі бастапкы жэне соңғы

орнымен гана анықталатын жағдайы болады. Бүл жағдайда күштер

орісін потенциялык деп, ал күштердің өзін консервативтік деп

нтайды.____________Жүмысы дененің бір орнынан екінші орынға ауысқандағы

жолмна тәуелді болатын күштер консервативтік емес күштер деп

■талады.

Кез келген түйык жолдагы консервативтік күштердің жүмысы

мольге тең болады.

§10. Кинетикалык және потенциялык энергня.

Потенциялык энергия мен күш арасындагы байланыс.

Тэжірибе көрсеткендей, бір дененің ылги да басқа денеге жүмыс

Ісіоте алатын жағдайы болады. Дененің немесе жүйенің жүмыс істей

нлнтын қабілетін сипатгайтын физикалық шама энергия деп аталады.

Дсненің энергиясы екі түрлі себептерден: біріншіден, кандайда бір

/Һі.ілламдығы бар дененің қозгалысынан, екіншіден дененін

күнігсрдін потенциал өрісінде болуынан. Бірінші түрдегі энергия

кіінстикалык энергия деп аталады.

Ал екінші түрдегі энергияны потенциялык энергия деп

ншйды.

Баскаша айтқанда, кинетикапық энергия - қозгалыс энергиясы,

иіі потенциялық энергия - дененің түрган орныныц энергиясы деп

іійіуга болады.

Сонымен, т массасы бар, и жылдамдықпен қозғалатын

мн гсриялық нүктенің кинетикалық энергиясынын

Т = ^ ~ (32)

45

болатындығы белгілі.

Денені козғалыска келтіретін/ күшінін істейтін А жүмысы онын

кинетикалыкэнергиясынын ДТ = Т: -Т , өсімшесінетенболатындығын

есте үстаған жөн,

Осы (33) өрнектен, энергиянын да жүмыс сиякты өлшемділігінің

болатынын көреміз. Бүл жүмысты өлшеу үшін қандай бірліктер

пайдаланылса, (II тарау, §8 қара) сондай бірліктермен энергияны да

өлшеуге мүмкіндік береді.

Күштердің потенциал өрісінде түрган, массасы т материялык

нүктені карастырайық. Өрістің эрбір нүктесіндегі г радиус-

векторымен сипатталатын қандай да бір II{г) функциясының белгілі

бір мәнін салыстыратын болсак, онда осы 1!(г) функциясы аркылы

калауымызша алынған 1-ші нүктеден басталып 2-ші нүктеде і

аяқталатын кез келген жолда өріс күштерініц денені қозгалысқа

келтіретін жолда істейтін жүмысын анықтауымызға болады. Бүл

жүмыс 1-2 жолдағы ІІ(г) функциясының кемуіне тең болады.

Сондықтан, осы жағдай 1!(г) физикалық шаманы потенциялык

энергия деп аталатын механикапық энергняның бір түрі ретінде

карастыруға негіз болады.

і!(г) функциясының нақты түрі күш өрісінін сипатына тэуелді.

Мысапы, Жер бетіне жақын ауырлык күш өрісінде массасы т дененің

потенциялық энергиясы мынатүрде болады:

мүндағы /і-бастапқы (11=0) деп есептегендегі денгейден алынган

биіктік.Ө зара әсерлесетін денелер жүйесі ғана емес жекелеп алынған

деформацияланған (мысалы, сығылган немесе созылган серіппе)

серпімді дененің де потенциялык энергиясы болады. Бүл жағдайда

потенциялык энергия дененің жеке бөліктерінің өзара орналасуына

байланысты болады (мысалы,

серіппенің көршілес

(33)

ІІ = т%һ (34)

Сонымен, серіппенің

потенциялық энергиясы і/-дың д:

үзаруға тәуелделігі мына түрге

келеді:

орамдарының ара қашыктығына).

(35) 28-сурет

46

Потенциялык өрістін эрбір нүктесінде, бір жағынан, денеге эсер

ітетін / күші векторынын кандайда бір мәні, екінші жагынан, дененін

I потенциялык энергиясынын кандай да бір мэні сәйкес келеді.

Демек, күш пен потенциялык энергияның арасында белгілі бір

оайланыс болуға тиіс. Бүп байланысты орнату үшін кеңістікте

к.иіауымызша тандап алынған бағыт бойымен (оны 5 әрпімен

Оелгілейік) қозғалатын дене мей-лінше аз Д5' орын ауыстырған кезде

оріс күштерінің істеген элементар АА жүмысын есептей-міз (28-

сурет).

Бүл жүмыс

АА = /*Д5 (36)

шамасына тен.

Мүндағы, /* - / күшініц 5 бағытына проекциясы.

Қарастырылып отырган жағдайда жүмыс потенциялык энер-

іиянын коры есебінен істелінетіндіктен, ол * осінің Ді кесіндісіндегі

іюгенциялық энергиянын АІІ кемуінетең:

АА = - \Ц . (37)

Осы (36) және (37) өрнектерді салыстыра отырып, мынаны

шшмыз:

/ ,А 5 = -ДГ/

бүдан ^ =~ ТДҒ5 (38)

осы (38) өрнек / 5 -тін Д5 кесіндідегі орташа мэнін береді.

/ у-тің берілген нүктедегі мэнін алу үшін шекке көшу керек:

/5 = - Ііт . (39)

5 »-о д5

ІІ шамасы, дене 5 осінің бойымен орын ауыстырған кезде гана

смос, баска бағытпен орын ауыстырған кезде де өзгере алатындықган,

( 19) ернектегі тек, {/-дың 5 бойынша алынған дербес туындысын

корсетеді:

л~Іғ- (40)

Осы қатыс кеңістіктегі кез келген бағыт үшін, атап айтканда,

искнрт координаталарының х,у,г осьтері үшін де орынды:

Л = ~Дх, Л = - Д^у , / , = Д~і . (41)

Бүл формулалар координатапар осіндегі күш векторының

Ііроскцияларын аныктайды. Егер осы проекциялар белгілі болса, онда

куш иекторыныц өзін былай анықтайды:

47

Дх Ду Дг

мүндагы, и - х. у. ж координаталарының скаляр функциясы деп

есептеледі де, (42) өрнектіц оң жағын осы скалярдың градиенті деп

атайды жэне ^гасіи символымен белгілейді. Демек, күш кері таңбамен

алынған потенциялык энергияның градиентіне тең:

/ = ~8гаЛ/. (43)