Лабораторна робот №1. Теоретичні відомості

Лабораторна робота № 1

Тема: Методи ідентифікації стану соціально-економічних систем на підставі аналізу досліджуваних часових рядів

Теоретичні відомості Аналіз динаміки прибутків, модулів прибутків та волатильностей

Дослідження, проведені над фінансово-економічними часовими рядами (наприклад, індексами цін, валютними, товарними, фондовими індексами) свідчать, що стохастичні процеси, які описують їхню динаміку характеризується кількома особливими ознаками. Так, зокрема, розподіли ймовірностей зміни цих показників (індексів) в багатьох випадках мають виділений («важкий») хвіст порівняно із Гаусовим розподілом. Функція автокореляції спадає експоненційно з деяким характерним часом. Однак, виявляється, що амплітуда зміни індексів, виміряна за абсолютними значеннями чи квадратами індексів, показує степеневі кореляції з довгочасовою персистентністю. Такі довгочасові залежності краще моделюються з використанням “додаткового процесу”, що в економічній літературі часто називається волатильністю. Волатильність змін індексів є мірою того, як сильно досліджувана система (яка в цьому в випадку характеризується однією вихідною величиною – часовим рядом індексів) схильна до флуктуацій, тобто відхилень індексів від попередніх значень.

Першим кроком при проведенні аналізу є вибір показника (оцінки) волатильності. Достатньо поширеним є підхід до визначення волатильності як локального середнього модуля зміни індексу.

Розуміння статистичних властивостей волатильності має також важливе практичне застосування: ­ волатильність є важливим показником для трейдерів, оскільки визначає ризик і є ключовим параметром практично для всіх моделей ціноутворення опціонів, включаючи і класичну модель Блека-Шоулза.

Визначення волатильності

Волатильність характеризує узагальнену міру величини ринкових флуктуацій (відхилень). В літературі існує досить багато визначень волатильності, проте ми будемо використовувати наступне: волатильність є локальним середнім модуля зміни ціни на відповідному часовому інтервалі T, що є рухомим параметром нашої оцінки.

Для індексу визначимо зміну ціни як зміну логарифмів індексів,

,

(1)

де є часовим інтервалом затримки. Якщо використовувати границі, то малі зміни приблизно відповідають змінам, визначеним другою рівністю.

Модуль описує амплітуду флуктуацій. В порівнянні із значеннями їх модуль не показує глобальних трендів, але великі значення відповідають крахам та великим миттєвим змінам на ринках.

Визначимо волатильність як середнє від для часових вікон , тобто

,

(2)

де є цілим числом. Таке визначення може бути ще узагальнене заміною на , де дає більш виражені великі значення , в той час як виділяє малі значення .

У цьому визначенні волатильності використовується два параметри, та n. Параметр є шаблонним (чи модельним) часовим інтервалом для даних, а параметр є кроком переміщення часового вікна. Зауважимо, що вказане визначення волатильності має внутрішнє протиріччя, а саме: вибір більшого часового інтервалу призводе до збільшення точності визначення волатильності. Однак, велике значення також включає погане розбиття часу на інтервали, що веде, у свою чергу, до врахування не всієї схованої у ряді інформації.

При порівнянні між собою кількох індексів часто використовують нормалізовану волатильність, що визначається для кожного індексу наступним чином:

,

(2’)

де означає середній час, отриманий для вікон, що не перекриваються, для різних часових масштабів T.