1.6. Примеры расчёта частотных характеристик цепей

Пример 1.1. Для обобщенной одноконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис.1.4) рассчитать ее частотные характеристики.

1. Z_вх(j), Z_вх(), _z(). 2. K(j), K(), _k().

Решение. 1) По определению Z_вх(j)=Ů_1m/ .Используя законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления:

Z_вх(j)=Ů_1m/Ĭ_1m= Ĭ_1m(Z₁+Z₂)/ Ĭ_1m =(R₁+R₂)+j(X₁+X₂)=R+jX;

Z _вх()=[(R₁+R₂)²+(X₁+X₂)²]^1/2; _z()=arctg[(X₁+X₂)/(R₁+R₂)].

2 ) Используя определение К(j) и законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению:

П ример 1.2. Для обобщенной двухконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис.1.5), рассчитать ее частотные характеристики:

1. Z_вх(j), Z_вх(), _z(). 2.K(j), K(), _k().

Решение. 1) Найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления.

По определению Z_вх(j)=Ů_1m/ .Входное сопротивление находим методом последовательных эквивалентных преобразований. Э тот метод состоит в поэтапном преобразовании простых участков цепи. Они показаны на рис.1.6.

2. найдем КЧХ коэффициента передачи по напряжению. По определения K_u(j)=Ů_2m/Ů_1m , а Ů_2m=Z₄Ĭ₂ – находим по закону Ома.

Отсюда видно, что для расчета КЧХ необходимо найти Ĭ₂. Находим Ĭ₂ методом контурных токов. Для этого: определим число независимых контуров: N_k=в-у+1=3-2+1=2, каждому из них присвоим свой контурный ток I₁, I₂ и составим уравнения по методу контурных токов.

Z ₁₁Ĭ₁+Z₁₂Ĭ₂=E₁₁

Z₂₁Ĭ₁+Z₂₂Ĭ₂=E₂₂ ,

где: Z₁₁ – собственное сопротивление первого контура, Z₁₁=Z₁+Z₂;

Z₁₂ и Z₂₁ сопротивление смежных контуров, Z₁₂= Z₂₁= - Z₂ ;

Z₂₂-собственное сопротивление II контура. Z₂₂=Z₂+Z₃+Z₄ ;

E₁₁-алгебраическая сумма источников ЭДС I-ого контура, E₁₁=U_1m;

E₂₂- алгебраическая сумма источников ЭДС II-ого контура, во II контуре источников ЭДС нет, E₂₂=0.

Найдем I₂- ток второго контура (по методу Крамера), а затем и КЧХ коэффициента передачи по напряжению:

П окажем другой способ нахождения КЧХ коэффициента передачи по напряжению. Найдем КЧХ, используя для расчета U_2m метод узловых потенциалов. Для этого:

• преобразуем исходную схему к виду показанному на рис.1.7, заменив источник эдс на источник тока;

• потенциал узла 0 примем равным нулю, ₀=0;

• тогда Ů_2m=₂ - ₀= _2.

Составив уравнения по методу узловых потенциалов, получим систему второго порядка и решим ее, относительно ₂, по методу Крамера:

Y ₁₁₁+ Y₁₂₂=I₁₁

Y₂₁₁+ Y₂₂₂=I₂₂,

где: Y_{11 –} собственная проводимость первого узла, Y₁₁=(1/Z₁)+(1/Z₂)+(1/Z₃);

Y₁₂ и Y₁₂ – межузловая проводимость Y₁₂= Y₂₁= - 1/Z₃; =-1/Z₃;

Y₂₂ - собственная проводимость первого узла Y₂₂=(1/Z₃) +(1/Z₄);

_1, ₂ – потенциалы первого и второго узлов;

I _11, I₁₁ – токи источников токов сходящихся в первом и втором узлах.

О тсюда следует, что

K_u(j)=Ů_2m/Ů_1m =Z₂Z₄/(Z₂Z₄+Z₂Z₃+Z₁Z₂+Z₁Z₃+Z₁Z₄).

Пример 1.3. Для цепи изображенной на рис.1.8 рассчитать:

1. z вх(j), z(), _z().

2. K_U(j), K(), _K().

От исходной цепи переходим к ее комплексной схеме замещения. Она соответствует схеме на рис.1.4.

Используя, определение z_вх(j) и законы Ома и Кирхгофа получим его выражение

О пределим АЧХ и ФЧХ для z_вх(j) и построим их графики (рис.9), подсчитав значения при =0, =.

; Zвх(0) = . Zвх() = R.

_z()= -arctg , _z(0)=-/2, _z()=0.

Используя, определение K_U(j) получим его выражение K_u(j)= = = = .

Определим АЧХ и ФЧХ для Ku (j) и построим их графики (рис.1.10), подсчитав значения при =0, =.

Вспомним, что z= = где: тогда,

Ku(0)=1; Ku()=0.

О тсюда следует: φ_к()= π/2, φ_к(0)= 0.

Такая цепь пропускает сигналы низких частот (Ku(0)=1) и подавляет сигналы высоких частот (Ku()=0) и называется фильтром низких частот (ФНЧ).

Граничная частота определяется из выражения . Рассчитаем ее для нашего примера:

, _грRC=1  .

Пример 1.4. Условия прежние. Схема приведена на рис. 1.11.

Найдем комплексную функцию входного сопротивления, а также ее АЧХ и ФЧХ и построим графики (рис.1.12).

От исходной цепи переходим к ее комплексной схеме замещения (рис.1.4). Далее, по аналогии с предыдущем, найдем интересующие нас частотные зависимости:

; , z(0)=R; z()=.

,,_z(0)=0 ,_z()=.

П олучим выражения для K_U(j), K_U(), _k(ω).

, K_u(0)=0, K_u()=1.

Графики зависимостей K_U(), _k(ω) приведены на рис.1.13.

_k(0)=-/2; _k()=0.

Эта цепь, пропускающая сигналы высоких частот и подавляющая сигналы низких частот называется фильтром высоких частот (ФВЧ).

Определим граничную частоту. По определению . Отсюда:

.

Пример 1.5. Для цепи (рис.1.14) определить комплексную функцию входного сопротивления Z_вх(j), ее АЧХ - Z_вх() и ФЧХ - ₂().

Д ано: R₁=1кОм R₂=2кОм; R₃=2кОм; C=1мкФ; L=10^-2Гн.

Решение. Комплексную функцию входного сопротивления находим методом эквивалентных преобразований, перейдя к комплексной схеме замещения (рис.1.5).

На первом этапе преобразуем участок цепи, содержащий последовательное соединение элементов L и R₃. Получим выражение для их комплексного сопротивления Z₃₄=jL+R₃.

На втором этапе преобразуем участок цепи, состоящий из параллельно соединенных элементов R₂ и Z₃₄. Получим .

На третьем, заключительном, этапе преобразуем участок цепи, содержащий последовательное соединение ветви Z₁, состоящей из последовательного соединения R₁ и C и участка цепи с сопротивлением Z₂₃₄. Получим

.

Запишем полученное выражение в алгебраической форме:

.

Отсюда выражения для АЧХ и ФЧХ имеют вид:

.

К ачественный анализ схемы показывает, что при =0, т.к. X_с= - входное сопротивление - равно бесконечности, а при , т.к. X_C=0, X_L=, входное сопротивление равно R₁+R₂. Это совпадает с расчетом по полученным выражениям, что подтверждает их правильность.

Результаты расчета АЧХ и ФЧХ представлены на графиках (рис.1.15 и 1.16). При этом значение частоты взято в логарифмическом масштабе т.е. lg .

Пример 1.6. Для цепи (рис.1.14), используя метод контурных токов, вывести выражения для комплексной функции коэффициента передачи напряжений K_u(j) (его АЧХ - K_u() и ФЧХ - _k()) и построить графики АЧХ и ФЧХ.

Решение. Топологический анализ показывает: число узлов n_у=2, число ветвей n_в=3. Отсюда число независимых контуров N_в=n_у-n_в+1=3-2+1=2. Выбираем направление обхода контуров, как правило, по часовой стрелке. Вводим обозначения и направления контурных токов и , как показано на рис. 1.14.

Для нахождения используя МКА необходимо найти ток ( =R₃ ). Система уравнений, составленная по методу контурных токов, имеет вид:

Решая систему по методу Крамера относительно тока , получаем:

.

Отсюда выражение для комплексного коэффициента передачи напряжения имеет вид:

.

АЧХ и ФЧХ соответственно равны:

;

.

К ачественный анализ схемы показывает, что при =0, т. к. X_C(), то U_2m=0, т.е. K_u(0)=0. При =, X_L(), а потому U_2m=0, т.е. K_u()=0. Это ты совпадает с расчетом по полученным выражениям для АЧХ, что подтверждает правильность проведенных расчетов.

Результаты расчета АЧХ и ФЧХ представлены на графиках (рис.1.17 и 1.18). При этом значения частоты взяты в логарифмическом масштабе, т.е. lg.

Пример 1.7. Решить пример 1.6 методом узловых потенциалов.

Решение. Схема содержит три узла (n_у=3). Пронумеруем узлы и введем их обозначения (рис.1.14). Для нахождения U_2m необходимо определить ₂=U_2m. Система уравнений, для нахождения ₂, составленная по методу узловых потенциалов, имеет вид:

где , .

Решая эту систему относительно  ₂ по методу Крамера, получим:

.

Отсюда, после подстановок, получим выражение для комплексного коэффициента передачи напряжения:

.

АЧХ и ФЧХ соответственно равны:

,

.

Сопоставляя результаты расчета в данном примере с результатами предыдущего примера, видим их полное совпадение. Это подтверждает правильность наших расчетов.