1.1.4 Переходные процессы
К переходным относятся все непериодические процессы, не являющиеся почти периодическими.
Физические явления, которым соответствуют переходные процессы, весьма многочисленны и разнообразны.
Примером может служить процесс изменения во времени температуры воды в чайнике (относительно температуры окружающего воздуха) после отключения нагревателя (рисунок 1.5, а).
а)
,
;
б)
,
Рисунок 1.5 – Примеры переходных процессов
Кривая на рисунке 1.5, б характеризует свободные колебания инерционной механической системы после прекращения действия вынуждающей силы.
Важное отличие переходных процессов от ранее рассмотренных состоит в том, что их невозможно представить с помощью дискретного спектра. Однако в большинстве случаев получают непрерывное спектральное представление переходных процессов, используя интеграл Фурье
,
(1.10)
где
– спектр функции
.
Модули спектров переходных процессов, изображенных на рисунке 1.5, представлены на рисунке 1.6.
а) б)
Рисунок 1.6 – Модуль спектра переходных процессов
1.2 Классификация случайных процессов
Процессы, соответствующие случайным физическим явлениям, нельзя описать точными математическими соотношениями, поскольку результат каждого наблюдения над процессом невоспроизводим.
Функция
времени, описывающая случайное явление,
называется выборочной
функцией,
а при конечном времени ее наблюдения –
реализацией.
Множество всех выборочных функций,
которые могут быть получены при
регистрации данного случайного явления,
образуют случайный процесс (СП)
.
Классификация случайных процессов представлена в таблице 2.
Таблица 2 – Классификация случайных процессов
Случайные процессы
|
||
Стационарные процессы
|
Нестационарные процессы |
|
Эргодические процессы |
Неэргодические процессы |
Частные случаи нестационарных процессов |
1.2.1 Стационарные случайные процессы
Случайный процесс в любой момент времени может быть описан путем усреднения величин по множеству выборочных функций, образующих случайный процесс.
Рассмотрим множество выборочных функций случайного процесса (рисунок 1.7) и введем понятия среднего значения и ковариационной функции СП.
–
выборочная
функция,
–
количество выборочных функций,
–
момент
усреднения,
–
временной сдвиг между точками СП
Рисунок 1.7 – Множество выборочных функций СП
Среднее
значение
случайного
процесса
в момент
времени
находят путем суммирования мгновенных
значений каждой выборочной функции в
момент времени
и деления полученной суммы на число
выборочных функций:
,
(1.11)
где – выборочная функция;
– момент
усреднения;
– номер выборочной функции;
– количество выборочных функций.
Ковариационная
функция
случайного
процесса
представляет
собой усредненное произведение мгновенных
значений случайного процесса в два
момента времени, отстоящие друг от друга
на интервал
:
.
(1.12)
Введенные выше функции (1.11), (1.12) определяются по ансамблю выборочных функций, поэтому способ усреднения носит названия усреднения по ансамблю.
Если среднее значение и ковариационная функция случайного процесса изменяются с течением времени , то процесс считается нестационарным. Если же названные функции не зависят от момента усреднения , то процесс относится к стационарным процессам.
Для слабо стационарного случайного процесса справедливы следующие соотношения для среднего значения и ковариационной функции:
1.
;
2.
.
При дополнительной независимости ковариационной функции процесса еще и от временного сдвига , процесс считается строго стационарным:
1. ;
2.
.