Практичне заняття №3

Тема. Арифметична прогресія.

Мета: Сформувати у студентів практичне уявлення про арифметичну прогресію. Виробити уміння розв’язувати практичні завдання з послідовностей виду арифметичної прогресії.

1. Знайдіть 10-й, 23-й і -й члени арифметичної прогресії 2,3; 1. . .

2. Знайдіть перший член арифметичної прогресії, якщо:

3. Чи є арифметичною прогресією послідовність , задана формулою:

4. Починаючи з якого номера всі члени заданої арифметичної прогресії будуть менше заданого числа ?

5. Починаючи з якого номера всі члени заданої арифметичної прогресії будуть більше заданого числа ?

6. Знайдіть суму п'ятдесяти, ста, перших членів послідовності , якщо:

7. Знайдіть суму усіх натуральних чисел, які кратні 7 і не більше за 130.

8.  Знайдіть ті значення , при яких числа , , утворюють скінченну арифметичну прогресію.

Практичні завдання до теми для самостійного опрацювання

1) Послідовність – арифметична прогресія. Знайдіть і , якщо і .

Послідовність – арифметична прогресія. Знайдіть і , якщо і .

Послідовність – арифметична прогресія. Знайдіть і , якщо і .

Послідовність – арифметична прогресія. Знайдіть і , якщо і .

Знайти різницю і п’ятий член арифметичної прогресії, якщо відомо, що її перший член дорівнює (–16), а дев'ятий член дорівнює (–232).

Знайти різницю і четвертий член арифметичної прогресії, якщо відомо, що перший і восьмий її члени дорівнюють відповідно (–12) і (–236).

Знайти перший член і різницю арифметичної прогресії , якщо і .

Знайти перший член і різницю арифметичної прогресії , якщо і .

Чи містить арифметична прогресія числа 155, 156, якщо , . Знайти чотирнадцятий член.

Чи містить арифметична прогресія числа 297, 295, якщо , . Знайти десятий член.

2) Знайти перший член і різницю арифметичної прогресії , якщо і . Знайдіть номер члена, рівного 66,8.

Знайти перший член і різницю арифметичної прогресії , якщо і . Чи є число 117,8 членом цієї прогресії?

Обчислити суму дев'яти перших членів арифметичної прогресії , якщо , .

Обчислити суму дев'яти перших членів арифметичної прогресії , якщо , .

Арифметична прогресія задана формулою . Знайти суму п’ятнадцяти перших членів цієї прогресії.

Арифметична прогресія задана формулою . Знайти суму десяти перших членів цієї прогресії.

Знайти суму десяти перших членів арифметичної прогресії, якщо восьмий її член дорівнює 56, а різниця 3.

Знайти суму восьми перших членів арифметичної прогресії, якщо десятий її член дорівнює 10, а різниця 4.

В арифметичній прогресії другий її член дорівнює 8,4, а четвертий член дорівнює 7,8. Починаючи з якого номера виконується умова ?

В арифметичній прогресії третій і п’ятий члени відповідно рівні 6,9 і 6,1. Починаючи з якого номера виконується умова ?

Геометрична прогресія

Геометричною прогресією називається така числова послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на постійне для даної послідовності число, відмінне від нуля.

Це постійне число називається знаменником прогресії і позначається q.

Прикладом такої прогресії може бути така послідовність:

2, 8, 32, 128, 256, ...

Перший член у цій прогресії a₁ = 2, а знаменник q = 4.

або ж 81, 27, 9, 3, 1, , , ... (a₁ = 81, q = ),

або , – , , – , ... (а₁ = , q = –2).

Виходячи з означення, характеристичну властивість геометричної прогресії запишемо у такому вигляді:

а_п+1 = а_п q (1)

Геометрична прогресія називається зростаючою, якщо |q|  1, а спадаючою, якщо |q|  1. Так, з наведених вище прикладів, перша і третя прогресії є зростаючі, а друга – спадаюча.

Виходячи з формули (1), визначеної означенням, можна скласти наступний ряд:

а₂ = а₁ q.

а₃ = а₂ q = а₁ q².

а₄ = а₃ q = а₁ q³ .

а₅ = а₄ q = а₁ q⁴.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Елементарний порівняльний аналіз робить очевидним, що загальний член (формула) геометричної прогресії має такий вигляд:

а _п= а₁ q^п-1. (2)

Теорема. Кожний член геометричної прогресії з додатними членами

а₁ , а₂ , а₃ , ... , а_п-2 , а_п-1 , а_п , а_п+1 ... ,

починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному сусідніх з ним членів.

Інакше кажучи, при п  2 а_п =

Дійсно, при п  2

а_п = а_п-1 q і з другого боку

а_п =

Перемноживши їх, отримаємо, що , звідки

а_п = (3).

Наступним ключовим питанням є сума членів геометричної прогресії.

Сума членів геометричної прогресії.

Визначимо суму п членів геометричної прогресії

а₁, а₁ q, а₁ q², а₁ q³, ..., а₁ q^п-1, а₁ q^п.

Утворимо суму з п – 1 члена прогресії в якій q  1

S_n = а₁ + а₁ q + а₁ q² + а₁ q³+ ...+ а₁ q^п-2 + а₁ q^п-1.

Помножимо обидві частини цієї рівності на q. Отримаємо наступну рівність:

qS_n = а₁ q + а₁ q² + а₁ q³ + а₁ q⁴+ ...+ а₁ q^п-1 + а₁ q^п

Віднімемо від першої суми другу, отримаємо:

S_n – qS_n = а₁ – а₁ q^п.

Виконавши елементарні перетворення, отримаємо

S_n(1 – q) = а₁ (1 – q^п)

З відси S_n = (4)

Ця формула стосується суми п членів геометричної прогресії. Але ми відзначали, що числові послідовності можуть бути необмеженими. Цікавість в даному випадку викликають обмежені послідовності з нескінченною кількістю членів. Одним з таких видів числової послідовності є нескінченно спадаюча геометрична прогресія.

Згідно теорії границь,

1. якщо числова послідовність обмежена, то вона має границю;

2. якщо числова послідовність має границю, то вона має і суму.

З цих двох положень випливає, що якщо геометрична прогресія нескінченно спадаюча і обмежена, то вона має суму.

Визначимо формулу цієї суми.

Нехай маємо нескінченно спадаючу прогресію

а₁, а₁ q, а₁ q², а₁ q³, ..., а₁ q^п...

Утворимо її суму

S = а₁ + а₁ q + а₁ q² + а₁ q³+ ...+ а₁ q^п + ...

Оскільки ця послідовність має границю, то визначимо її суму як границю суми членів послідовності.

S = lim S_n = lim (а₁ + а₁ q + а₁ q² + а₁ q³+ ...+ а₁ q^п + ... ), тобто

^{п п}

S = =  (1 – qⁿ ) = ( 1 – qⁿ) = .

Отже, сума членів нескінченно спадаючої геометричної прогресії обчислюється за формулою:

S = (5)