Модуль I. Числові послідовності Програмні вимоги

Поняття числової послідовності. Види числових послідовностей.

Границя числової послідовності. Властивості границі числових послідовностей.

Скінченні прогресії:

Арифметична прогресія. Формула загального члена арифметичної прогресії. Сума членів скінченої арифметичної прогресії.

Геометрична прогресія. Формула загального члена геометричної прогресії. Сума членів скінченої геометричної прогресії.

Нескінченні прогресії:

Формула суми членів нескінченно спадаючої геометричної прогресії.

Застосування геометричної прогресії до десяткових періодичних дробів.

Література:

1. Колмогоров А.Н., Абрамов А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. Учеб. пособие для 9–10 кл. –М. Просвещение, 1988. –336 с.

2. Фіхтенгольц Г.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. т.1 –М.: Наука, 1970. – 607 с.

3. Шкіль М.І. Математичний аналіз ч.1.–К.: Вища школа.

4. Шкіль М.І., Дюженкова Л.І. та ін./ за ред Шкіля М.І.

5. Шкіль М.І., Колесник Т.В., Хмара Т.М. Алгебра і початок аналізу. Підручник для 10 кл. –К.: Освіта, 2000. –320 с.

МОДУЛЬ ІІІ. Елементи аналітичної геометрії.

Декартова система координат. Проекція відрізка. Відстань між двома точками. Ділення відрізка в заданому відношенні.

Рівняння лінії.

Задача про перетин двох ліній.

Лінії першого порядку. Кутовий коефіцієнт. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Кут між двома прямими. Умова паралельності і перпендикулярності двох прямих.

Загальне рівняння прямої.

Неповне рівняння прямої. Рівняння прямої „у відрізках”.

Спільне дослідження рівнянь двох прямих.

Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої.

Криві другого порядку.

Еліпс. Канонічне рівняння еліпсу. Коло як частковий випадок еліпсу.

Гіпербола. Канонічне рівняння гіперболи.

Парабола. Канонічне рівняння параболи.

Література:

1. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия.–М. Просвещение, 1985.–320 с.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. –М.: Просвещение, 1983. – 228 с.

3. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 7–11 кл. –М. Просвещение, 1992. –384 с.

МОДУЛЬ ІV. Елементи теорії детермінантів

Детермінанти другого порядку та системи двох рівнянь першого степеня з двома невідомими.

Детермінанти третього порядку та його властивості.

Мінори.

Розв’язання та дослідження системи з трьох рівнянь першого степеня з трьома невідомими.

Розв’язання системи з чотирьох рівнянь з чотирма невідомими за допомогою мінорів.

Література:

1. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. –М.: Просвещение, 1983. – 228 с.

Числові послідовності розробка теоретичних питань

Поняття числової послідовності_______________________________

Розглянемо числові сукупності:

1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ..., п, ...

2) , 2, 4 , 8, 12 , ... , ...

3) 0, 3, 8, 15, 35, ..., п² – 1, ...

ОЗНАЧЕННЯ. Сукупність чисел, кожне з яких визначається номером місця, яке воно займає у цій сукупності, називається числовою послідовністю.

Задати числову послідовність – значить вказати правило, за яким обчислюється той чи інший член послідовності, якщо відомий номер місця, яке він у ній займає.

Існують декілька способів завдання послідовності. Розглянемо деякі з них.

1. Завдання послідовності за допомогою формули. Формула встановлює зв’язок числа з номером місця, яке воно займає у послідовності. Прикладами можуть задані вище послідовності. Скажімо, у третій послідовності під номером 4 значиться число, яке обчислюється формулою п² – 1, тобто замість числа п слід поставити число 4 і виконати запропоновані дії: 4² – 1 = 15.

Формула, за якою обчислюється член числової послідовності за його номером, називається загальним членом числової послідовності.

Оскільки за загальним членом можна визначити будь-який член послідовності, то часто послідовність позначається {a_n}.

2. Завдання послідовності через опис її членів. Наприклад, послідовність

1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ... утворена з наближених значень з недостачею з точністю до 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 ... В подібних випадках формулу загального члена встановити неможливо.

3. Завдання послідовності через вказування перших декількох членів послідовності. Наприклад, перший і другий члени дорівнюють 1, а кожний наступний дорівнює сумі двох попередніх членів.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

(до речі, числа цієї послідовності називаються числами Фібоначчі, за ім’ям італійського математика Леонарда Пізанського).

Послідовності можуть мати як скінчену, так і нескінчену кількість членів.

Послідовності, які мають скінчену кількість членів, так і називаються скінченими, а нескінчену – нескінченими.

Якщо кожний наступний член послідовності більший за попередній, то послідовність називається монотонно зростаючою. Тобто, а_п+1  а_п. Прикладом таких послідовностей є наведені вище приклади.

Якщо ж кожний наступний член послідовності менший за попередній, то послідовність називається монотонно спадаючою. Тобто, а_п+1  а_п. Наприклад,

1, ... , , ...

Іноді, якщо неістотно, послідовність монотонно спадаюча чи зростаюча, їх просто називають монотонними.

Послідовності, які не є монотонними, а її члени приймають значення то більші за попередній член, то менший, називаються коливающимися. Наприклад, послідовність, що визначається формулою а_п = має вигляд: 1, – , , – , , ...

Числова послідовність називається обмеженою зверху, якщо для будь-якого п існує таке число А, що а_п  А. Прикладом такої послідовності може бути послідовність периметрів вписаного в коло правильних многокутників (п 3, де п – кількість сторін многокутника): р₃, р₄, р₅, ..., р_п. Ця послідовність не може перевищити довжину кола, описаного навколо многокутника.

Або послідовність , , , , ... , , ... Усі члени цієї послідовності менші за число 1, тобто а_п  1.

Числова послідовність називається обмеженою знизу, якщо для будь-якого п існує таке число В, що а_п  В. Прикладом такої послідовності може бути послідовність множини натуральних чисел: 1, 2, 3, 4, ..., п, ..., або послідовність периметрів правильних многокутників, описаних навколо кола. Члени цієї послідовності не можуть бути менші за довжину кола.

Числова послідовність називається обмеженою, якщо для будь-якого п вона обмежена і зверху, і знизу: В  а_п  А . Прикладом такої послідовності може бути послідовність значень , яка утворена з наближених значень з недостачею і надлишком з точністю до 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 ... з

1   2

1,4   1,5

1,41   1,42

1,414   1,415

1,4142   1,4143

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ясно, що ця послідовність обмежена знизу числом 1, а зверху числом 2.