Практическое занятия № 5.

1. Найти область определения и область значения функций:

1) 2)

Решение.

1) Область определения задаётся условием: или , то есть представляет собой область вне эллипса с центром в начале координат и с полуосями и . Областью значений является промежуток .

2) Функция должна удовлетворять условиями: . Учитывая эти условия, зададим её явно, выражая через . Для этого обе части равенства возведём в квадрат и решим квадратное уравнение относительно переменной : . Получаем и . Первое решение удовлетворяет поставленным условиям, а второе не удовлетворяет. Следовательно функция однозначно представляется в виде . Кроме того при любых значениях значениях , поэтому областью определения является вся числовая прямая. Областью значений функции является промежуток .

2. Построить линии уровня функции:z = min(x , 3y)

Решение. Линией уровня функции двух переменных называется множество точек на плоскости, таких, что во всех эти точках значение функции одно и тоже. Построим три линии уровня функции для , , .

3. Найти частные производные и дифференциал функции .

Решение. Чтобы найти частную производную по , считаем постоянной величиной. Таким образом, . Аналогично, дифференцируя по , считаем постоянной, то есть .

Дифференциал функции определяется формулой . Поэтому .

4. Найти частные производные сложной функции: , , .

Решение. Найдём частные производные функций и по переменным и : , , , . Тогда

;

.

5. Найти производную функции по направлению:

1) вектора ; 2) градиента .

Решение. 1) Производная функции по направлению вектора вычисляется по формуле .

Найдём частные производные: , . Тогда

.

2) Градиентом функции называется вектор с координатами . Вычислим координаты заданного градиента

.

Тогда

.

6. Найти экстремум функции двух переменных z = x³ + y³ – 3ху.

Решение. 1) Найдем частные производные данной функции по х и по у (z’_x и z’_y). Для нахождения частной производной по х надо считать переменную у постоянной (у = const), а для нахождения производной по у –переменную х постоянной (х = const). При этом сохраняются основные правила дифференцирования.

z’_x = 3x² – 3у; z’_y = 3y² – 3х.

2) Находим критические точки функции, решив систему уравнений

=> 2 критические точки (0; 0) и (1; 1).

3) Найдем частные производные второго порядка:

z’_x = 3x² – 3у => z”_xх = 6x; z”_xy = – 3;

z’_y. = 3y² – 3х => z”_ух = – 3; z”_уy = 6у.

Вычислим их значения в каждой критической точке и составим матрицу Гессе.

В точке (0; 0): . Так как определитель этой матрицы отрицателен, то в точке (0; 0) экстремума нет. (Эта точка является седловой).

В точке (1; 1): . Матрица Гессе в точке (1; 1) положительно определена, поэтому точка (1; 1) является точкой минимума.

4) Найдем экстремум функции z_miп = z(1; 1) = 1³ + 1³ – 3∙1∙1 = –1.

Ответ: Минимальной значение функции z = x³ + y³ – 3ху равно –1 (z_miп = –1).