Вариант № 5

1. Линия, которая ограничивает область определения функции : 1) окружность; 2) эллипс; 3) гипербола;

2. Если , то значение частной производной в точке M(1; 1) равно:

1) 2; 2) 4; 3) 1;

3. Если , то частная производная

1) ; 2) ; 3)

4. Если , то градиент и модуль градиента в точке M(1; 1), равны, соответственно:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

5. Если , то матрица Гессе (матрица вторых производных) равна:

1) ; 2) ; 3) ;

6. Если , то ее матрица Гессе и экстремум, соответственно, имеют вид:

1) , ; 2) , ; 3) , ;

III. Решение типовых примеров Практическая работа №1.

1. Найти .

Решение. Такого типа примеры решаются переводом иррациональности из числителя в знаменатель и, наоборот, из знаменателя в числитель. Здесь мы имеем предел разности двух положительных бесконечно больших величин («неопределенность типа [–]»). От этой неопределенности избавимся, дополнив функцию до разности квадратов:

= = = .

Следовательно, =

Ответ: 0.

2. Найти .

Решение. Функция при х=1 не определена («неопределенность типа »), и, следовательно, не является непрерывной в этой точке. Но при всех других значениях х .

Полученная функция определена и непрерывна в точке х=1, поэтому

= = .

Ответ: .

3. Найти

Решение. Здесь требуется найти предел отношения двух бесконечно больших величин. О таком пределе заранее ничего определенного сказать нельзя («неопределенность типа »). Преобразуем функцию под знаком предела, вынося за скобки х в старшей степени, и используем свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин. Тогда имеем:

= = == = 0.

Ответ: 0.

4. Найти .

Решение. Так как (первый замечательный предел), то .

Следовательно, =

Ответ: .

5. Найти .

Решение. Так как х→, а не к 0, то применить сразу первый замечательный предел нельзя. Поэтому произведем замену переменной: –х = у, откуда х = –у. Тогда при х→ у→0, используя то, что

= = .

Ответ: .

6. Найти .

Решение. Выделим у дроби целую часть: .Чтобы использовать второй замечательный предел (или ), обозначим . Тогда при х→∞ у→0, причем . Т.о. = .

Ответ: .

7. Найти односторонние пределы функции в точке .

Решение. При , поэтому .

При , поэтому .

8. Исследовать непрерывность функции .

Решение. Найдём предел . Заметим, то согласно определению функции . Следовательно, ,то есть данная функция в точке терпит разрыв.

Практическая работа № 2

Справочный материал

Правила дифференцирования:

1. с’ = 0;

2. x’ = 1;

3. (u + v)’ = u’ + v’;

4. (c∙u)’ = c∙u’;

5. (u∙v)’ = u’∙v + u∙v’;

6. (u∙v∙w)’ = u’∙v∙w + u∙v’∙w + u∙v∙w’;

7. .

Производная сложной функции

Если у есть функция от и: у = f(u), где и в свою очередь есть функция от аргумента х: u = φ(x), т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент и, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции): y = f(φ(x)).

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:

y’_x = y’_u u’_x

Таблица производных:

№	Функция у	Производная у’
1	С	0
2	X	1
3	un	n∙un-1∙ u’
4
5
6	eu	eu∙u’
7	au	au∙ln a∙u’
8	ln u
9	loga u
10	sin u	cos u∙u’
11	cos u	– sin u∙u’
12	tg u
13	ctg u
14	arcsin u
15	arcos u	–
16	arctg u
17	arcctg u	–

1. Найти производную функций:

а) у = х + 2; б) y = (2x – 3)(3x + 2); в) у = ; г)у= ;

д) у =(x³ – 2x² + 5)⁶; е) ; ж) ; з) y = tg(3x² – 1);

и) .

Решение. а) у = х + 2.

Используя правило дифференцирования (3) и формулы (1), (2), имеем:

у' = (x + 2)’ = (x)’ + (2)’ = 1 + 0 = 1.

б) y = (2x – 3)(3x + 2).

y’ = ((2x – 3)(3x + 2))’ = (2x – 3)’∙(3x + 2) + (2x – 3)∙(3x + 2)’ = 2∙(3x + 2) +

+ (2x – 3)∙3 = 12x – 5. Здесь мы использовали правило дифференцирования (5).

в) у = .

Используя правило дифференцирования (7), имеем у’= =

= .

г) у = .

Найдем производную, используя правило дифференцирования (4) и

формулу (3).

у' = .

д) у =(x³ – 2x² + 5)⁶ .

Пусть x³ – 2x² + 5 = и, тогда у = и⁶. По формуле (3), получим у’ = (и⁶)’ = 6u⁵∙u’= 6(x³ – 2x² + 5)⁵∙(x³ – 2x² + 5)’ = 6(x³ – 2x² + 5)⁵∙(3x² – 4x).

е) .

По правилу дифференцирования (7) и формуле (10) получим:

= .

ж)

Используя формулы (4) и (10), имеем:

.

з) y = tg(3x² – 1).

По формуле (12) имеем:

y' = (tg(3x² – 1))’ = .

и) .

По формуле (8), а также (3), (4), (5) имеем:

=

= .

2. Найти производную неявно заданной функции .

Решение. Будем считать переменную y , функцией от x и дифференцировать её по правилу дифференцирования сложной функции, а переменную x – независимой переменной. Имеем . Из последнего равенства выразим .

3. Найти предел, используя правило Лопиталя: .

Решение. Имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя (если имеется неопределенность вида или , то ), получим:

= . Неопределенность вида по-прежнему сохраняется. Применим правило еще раз:

= .

Ответ: 1.

4. Вычислить приближенно, используя дифференциал функции tg46⁰.

Решение. Для приближенных вычислений воспользуемся формулой:

.

Положим f(x) = tgx. Найдем производную f’(x) = (tgx)’ = . Тогда . Учитывая, что tg46⁰ = tg(45⁰ + 1⁰) = =tg , возьмем х = и Δх = .

Тогда tg46⁰ = tg .

Ответ: tg46⁰ 1,035.

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х³ – 12х на отрезке [0, 5].

Решение. Сначала найдем производную функции: у’ = 3х² – 12.

Затем найдем критические точки, т.е. точки, в которых у’ = 0 или не существует: 3х² – 12 = 0, откуда критические точки х₁ = –2, х₂ = 2. Точка х₁ = –2 не принадлежит отрезку [0, 5], поэтому мы исключаем ее из рассмотрения.

Вычислим значения функции в критической точке х₂ = 2 и на концах интервала и выберем из них наибольшее и наименьшее: у(2) = – 16, у(0) = 0, у(5) = 65.

Ответ: Т.о. наибольшее значение функции на отрезке [0, 5] равно 65, наименьшее равно –16.

6. Исследовать функцию у = и построить ее график.

Решение. а) Найдем область определения функции.

Областью определения этой функции является вся действительная ось, за исключением двух точек х₁ = –2 и х₂ = 2, в которых имеет место разрыв (знаменатель х² – 4 = 0). Т.о. область определения: (-∞; -2)U(-2; 2)U(2; +∞)

б) Исследуем функцию на четность-нечетность.

Функция четная, т.к. у(-х) = = у(х). Четность функции определяет симметрию ее графика относительно оси Оу.

в) Найдем вертикальные асимптоты графика функции.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на границе ее области определения. Точками разрыва являются х₁ = –2 и х₂ = 2.

Вычислим пределы функции в окрестностях этих точек.

Предел слева , предел справа .

Аналогично , .

Следовательно, прямые х = –2 и х = 2 являются вертикальными асимптотами функции.

г) Найдем горизонтальные или наклонные асимптоты графика функции.

Для этого вычислим пределы: и . Откуда (по формуле y = kx +b) заключаем, что уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид: y = 0x +1, т.е. у = 1.

д) Найдем экстремумы и интервалы монотонности.

П роизводная заданной функции у’ = равна нулю (у’ = 0) при х=0 и не существует при х = ±2. Но критической является только точка х=0 (т.к. значения х = ±2 не входят в область определения функции). Поскольку при x < 0 f’(x) > 0, а при x > 0 f’(x) < 0, то х=0 – точка максимума функции и f_mах(x)= = – 1.

Н а интервалах (-∞; -2) и (-2; 0) y' + –

ф ункция возрастает , на интервалах -2 0 2 x

(0; 2) и (2; +∞) –. убывает y

е) Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба.

Д ля этого надо найти вторую производную функции у’’ = . Видно, что уравнение у’’ = 0 не имеет действительных корней, и это исключает существование у графика точек перегиба. Вместе с тем по корням знаменателя (-2 и 2) можно установить, что при переходе через эти значения х знаки у’’ меняются.

Н а интервалах (-∞; -2) и (2; +∞) y” + – +

ф ункция выпукла вниз, на интервале -2 2 x

(-2; 2) – выпукла вверх. y

ж) Найдем точки пересечения с осями координат.

f(0) = = – 1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0; -1). Уравнение f(х) = 0, (т.е. = 0), решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.

Н а основании полученных данных построим график заданной функции.

у

1

-2 2 х

-1