Простые и сложные процентные ставки
Как уже отмечалось выше (см. Базовые концепции финансового менеджмента), временная стоимость денег может быть выражена несложной зависимостью (формулой) математического дисконтирования:
(2.1)
где через PV обозначена текущая (дисконтированная) стоимость будущего денежного потока; через FV – будущая (наращенная) стоимость текущего денежного потока; через r – ставка доходности за определенный период, соответствующая оценке инвестором уровня риска. Формула, обратная формуле (2.1), носит название формулы наращения:
(2.2)
В формулах (2.1) и (2.2) ставка r представляет собой периодическую ставку, соответствующую одному периоду времени между текущим и будущим денежными потоками (в качестве такого периода может выступать год, квартал, месяц и др.) Если таких периодов до будущего платежа несколько, то формулы (2.1) и (2.2) примут соответственно вид
(2.1')
(2.2')
Формула (2.2') выражает начисление процентов по сложной ставке. При этом процентный доход начисляется не только на основную сумму PV, но и на ранее начисленные проценты. В финансовом менеджменте, как уже отмечалось выше, использование сложного процента означает неявное предположение о реинвестировании получаемого дохода под действующую ставку доходности.
В некоторых случаях используется и ставка простого процента, начисляемая по формуле
(2.3)
При этом проценты начисляются только на основную сумму PV. Использование простых процентов правомерно в случаях, когда начисление производится за период, меньший, чем промежуток времени между соседними начислениями (выплатами) дохода. Формула (2.3) используется и при учете векселей.
Внутригодовые процентные начисления
В современной практике достаточно часто встречаются случаи, когда начисление процентов по некоторой номинальной годовой процентной ставке r осуществляется чаще, чем один раз в год. В частности, таким образом обычно начисляются проценты по банковским вкладам. В этом случае проценты, начисленные по подпериодам в соответствии с периодичностью начисления, будут реинвестироваться под ставку, равную номинальной годовой деленной на количество периодов начисления в году. Наращенная стоимость в таком случае будет иметь вид
(2.4)
где m - количество начислений в году, r - номинальная годовая процентная ставка, n - количество лет. Соответственно частное r/m будет представлять собой периодическую процентную ставку (ставку за период начисления). Очевидно, что чем чаще происходит начисление процентов при одной и той же номинальной годовой ставке, тем выше будет начисленная сумма. При этом если устремить число начислений m к бесконечности, то есть продолжительность периода начисления – к нулю, то формула (2.4) примет вид2
(2.4')
где
- основание
натурального логарифма. Начисление
процентов по формуле (2.4') носит название
непрерывного и широко используется в
теории управления инвестиционным
портфелем.
Эффективная годовая процентная ставка
Управленческая практика достаточно часто требует сравнения эффективности различных схем начисления процентов. Удобным инструментом для проведения подобных сравнений служит так называемая эффективная годовая процентная ставка, которую обычно обозначают R. Эффективная годовая ставка представляет собой процентную ставку с периодом начисления один год, эффект начисления которой эквивалентен начислению периодической процентной ставки m раз в год. Соответственно эффективная годовая ставка R может быть определена из формулы
(2.5)
Заметим, что в правой части формулы (2.5) частное r/m представляет собой периодическую ставку, вместо этого отношения может стоять процентная ставка за соответствующий внутригодовой период.
Здесь необходимо сделать весьма существенное замечание практического свойства. Как в мировой, так и в отечественной практике банковского дела, ипотечного кредитования и т.п. объявленные, или контрактные годовые процентные ставки представляют собой по существу номинальную ставку. Для того, чтобы найти эффективную доходность (другими словами, реальную стоимость кредита), необходимо воспользоваться формулой (2.5) с учетом количества начислений (выплат) в течение года. Для субъекта же, принимающего решения финансового характера, релевантной является именно эффективная доходность (стоимость капитала), которая по умолчанию и фигурирует во всех рассуждениях. Последнее обстоятельство имеет важное следствие для практических расчетов: если задана номинальная годовая ставка, то для определения периодической достаточно поделить ее на количество периодов начисления в году. Если же известна эффективная доходность (которой, еще раз подчеркнем, и оперирует субъект, принимающий финансовое решение), то для расчета периодической ставки придется извлечь корень степени, равной числу периодов начислений в году. Проиллюстрируем сказанное небольшим примером.
Если контрактная (номинальная) ставка по ипотечному кредиту равна 12% с ежемесячными выплатами, то периодическая (месячная) процентная ставка в этом случае будет равна 12%÷12=1%. Эффективная годовая ставка будет равна (1.01)12 -1 ≈ 0.1268 или 12.68%. Если же 12% представляет собой эффективную цену ипотечного кредита, то месячная ставка уже будет рассчитываться по формуле (1+0.12)1/12 и будет равна 0.949%.