Основные теоремы о бесконечно больших последовательностях

Теорема о сумме двух бесконечно больших последовательностей, имеющих одинаковый знак

Если две последовательности и являются бесконечно большими при и их члены при этом имеют одинаковый знак, то их сумма также является бесконечно большой последовательностью при .

 По определению бесконечно большой последовательности имеем:

Тогда при , где верно неравенство .

Теперь используем известное свойство модуля: , причем только тогда, когда и имеют одинаковые знаки. По условию теоремы числа и имеют одинаковые знаки, поэтому .

Следовательно, при верно неравенство , где - произвольное малое число. Это означает, что , то есть последовательность является бесконечно большой при . 

Теорема о сумме бесконечно большой и ограниченной последовательностей

Если последовательность является бесконечно большой при и последовательность является ограниченной, то их сумма является бесконечно большой последовательностью при .

 Запишем определения ограниченной последовательности и бесконечно большой последовательности:

1) – ограниченная ;

очевидно, что из неравенства следует неравенство ;

2) – б. б. ,

где – сколь угодно малое число;

если обозначить , то определение б. б. можно записать несколько иначе: ,

где M – сколь угодно большое число.

Теперь рассмотрим , используя при этом свойство модуля :

.

Таким образом показано, что для любого числа , сколь большим бы его ни брать, существует номер такой, что при выполняется неравенство . По определению бесконечного предела это означает, что , то есть последовательность б. б при 

Теорема о произведении бесконечно больших последовательностей

Если две последователности и являются бесконечно большими при , то их произведение также есть бесконечно большая последовательность при .



;

таким образом показано, что

. 

Теорема о связи бесконечно большой с бесконечно малой последовательностью

Если б.б. при и , то последовательность является бесконечно малой при .



для любого числа , сколь малым бы оно ни было,

является б.м. при . 

Теорема о произведении бесконечно большой на ограниченную последовательность

Если последовательность бесконечно большая при , последовательность ограниченная, но не является бесконечно малой, и все её члены отличны от нуля (хотя бы начиная с некоторого номера ), то произведение этих последовательностей есть бесконечно бальшая последовательность при .

 Поработаем с ограниченной последовательностью : учитывая, что она не является бесконечно малой и что все её члены отличны от нуля (хотя бы начиная с некоторого номера ), при можно зафиксировать ограниченность членов этой последовательности по модулю: , где a и b – положительные числа; перейдем к неравенству обратных величин и получим, что , то есть последовательность также является ограниченной.

Теперь поработаем с бесконечно большой последовательностью : так как , то последовательность из обратных величин может быть образована и является бесконечно малой (по теореме о связи бесконечно большой с бесконечно малой последовательностью); очевидно, что также является бесконечно малой и последовательность из модулей .

Рассмотрим

в знаменателе имеем произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность ; по теоремам о бесконечно малых величины образуют бескнечно малую последовательность, тогда обратные им величины образуют бесконечно большую посоледовательность; следовательно, последовательность является б. б. при . 