Упражнения для самостоятельной работы

} 1. Для нескольких последовательностей известны формулы общего члена:

1. ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .

Для каждой из этих последовательностей вычислите несколько первых членов и по расположению чисел на координатной оси сделайте вывод о .

2. Среди последовательностей предыдущего задания укажите номера сходящихся, расходящихся, бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.

3. Докажите строго по определению предела, что :

1) ; 2) ; 3) .

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы

1. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) .

2. Номера сходящихся последовательностей: 1), 3), 5), 6), 9), 10);

расходящихся последовательностей: 2), 4), 7), 8);

бесконечно больших последовательностей: 2), 8);

бесконечно малых последовательностей: 1), 6), 9), 10).

2. Основные свойства предела последовательности. Ограниченные последовательности

1.Единственность предела

Теорема о единственности предела

Если существует предел последовательности , то этот предел является единственным

 Проведем доказательство от противного. Предположим, что последовательность имеет два различных предела: и .

У двух различных точек а и b координатной прямой (возможно,расширенной) всегда можно указать непересекающиеся - окрестности: (это одно из свойств окрестностей).

По определению предела имеем:

Следовательно, при , где , все входят в обе окрестности и , что невозможно, так как окрестности не пересекаются. Получившееся противоречие говорит о том, что предположение о двух различных пределах одной и той же последовательности является неверным. Следовательно, верно противоположное: последовательность может иметь только один предел, ч.т.д. 

Иллюстрация к приведенному доказательству в случае, когда оба предела a и b являются конечными, показана на рис. 14.

Рис. 14

Рис. 15

2.Предел стационарной последовательности

Теорема о пределе стационарной последовательности

Если все члены стационарной последовательности равны числу a, то существует предел этой последовательности, равный числу a: .

 Пусть , тогда будет при ;

по определению конечного предела заключаем, что , т.е. предел постоянной последовательности существует и равен этой постоянной, (рис. 15). 

3.Переход к пределу в равенстве

Теорема о переходе к пределу в равенстве

Если члены двух последовательностей и совпадают (начиная хотя бы с некоторого номера ) и обе эти последовательности имеют пределы, то их пределы равны: если .

 . Так как при всех верно равенство , то при будет верно, что , где – это произвольное малое число. Отсюда на основании определения предела заключаем, что . Так как последовательность может иметь только один предел, то , ч.т.д. 

Иллюстрация к свойству приведена на рис. 16:

Рис. 16

Другими словами доказанное свойство можно сформулировать так:

в равенстве можно переходить к пределу:

(при условии, что предел правой и левой частей существуют).