9.Критерий Коши существования конечного предела последовательности
В этом пункте приводится формулировка известного критерия сходящейся последовательности, т.е. необходимого и достаточного условия существования у неё конечного предела, при этом не привлекается значение самого предела.
Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши:
выполняется неравенство
.
Числовую последовательность, удовлетворяющая условию Коши, называют фундаментальной последовательностью. Её сходимость эквивалентна тому, что члены последовательности с достаточно большими номерами становятся сколь угодно близкими друг к другу.
10.Упражнения для самостоятельной работы
Запишите последовательность , выделите из неё сходящуюся подпоследовательность, если ограничена, или бесконечно большую последовательность, если неограничена:
1)
;
2)
;
3)
; 4)
.
Ответы к упражнениям для самостоятельной работы
1)
-
ограничена т.к.
при
,
,
;
2)
-
неограничена
;
3)
-
ограничена, т.к.
;
;
4)
-
неограниченная, но не бесконечно большая
, 
,
при
.
Приложения