2.3. Кривые второго порядка

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

Ах²+2Вху+Су²+2Dx+2Ey+F= 0.

Окружность – это множество точек (х, у), равноудалённых от одной, называемой центром.

Пусть С(x₀, y₀) – центр окружности, R – радиус окружности, М(х, у) – текущая (любая) точка окружности. По определению ,

– каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке С(x₀, y₀) (рис. 2.3). В частности, если центром является начало координат, уравнение упрощается: .

Общее уравнение окружности не содержит произведения координат:

,

где А = В.

Из него легко можно получить канонический вид методом выделения полного квадрата, воспользовавшись алгебраическими формулами

, ;

. Здесь

Добавляем недостающие a², b² (столько же вычитаем, чтобы уравнение не изменилось):

,

. Здесь .

Если в правой части получили число отрицательное, то окружность мнимая; если это число равно нулю, окружность вырожденная, т.е.  – это точка с координатами , .

Эллипс – это множество точек (х, у), сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Ч тобы получить уравнение эллипса, воспользуемся чертежом (рис. 2.4), расположив фокусы эллипса F₂(c, 0), F₁(c, 0) на оси ох симметрично относительно начала координат. Введём произвольную точку искомой линии М(х, у) и составим векторы

Вычислим их длины:

По определению эллипса выполняется равенство

где а > c.

Подставив длины радиусов, получим эквивалентное равенство

Это и есть уравнение эллипса в выбранной системе координат. Преобразуем его:

Возводим обе части равенства в квадрат:

или

Ещё раз возводим в квадрат, предварительно разделив на а обе части равенства:

откуда следует

.

Поскольку а > c, обозначим а²  с² = b² и запишем каноническое уравнение эллипса .

Рис. 2.5

Теперь можно построить эллипс по его уравнению (рис. 2.5). Найдём точки, называемые вершинами эллипса, пересечения линии с осями координат: если у = 0, то х =  а, если х = 0, то у =  b.

Приняты названия:

2а – большая ось эллипса, на ней расположены фокусы;

2b – малая ось эллипса, b < a;

, – фокусы эллипса;

2c – расстояние между фокусами, с < a, с² = а²  b²;

,  – фокальные радиусы-векторы (по определению r₁+r₂=2a);

называется эксцентриситетом, .

Фокусы эллипса всегда расположены на большой оси, поэтому если b > a, то .

Для фокальных радиусов справедливы равенства:

Прямые , указанные на рис. 2.5, называются директрисами эллипса и находятся на расстоянии от центра эллипса. Они обладают следующим свойством: отношение расстояний любой точки эллипса до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная .

Подставляя в уравнение директрисы значение получаем

Если центр эллипса смещён в точку ( ), его уравнение примет вид:

.

Гипербола – это множество точек, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек –фокусов есть величина постоянная, равная 2а, т. е.

,

где ,  фокальные радиусы-векторы.

Каноническое уравнение гиперболы

,

где а – действительная полуось, b – мнимая полуось,

, – фокусы, ,

 эксцентриситет,

– уравнения директрис (на рис. 2.6 одна из них обозначена символом d),

 – асимптоты гиперболы.

Если центр гиперболы смещён в точку (x₀, y₀), то уравнение принимает вид .

Для построения гиперболы используем прямоугольник со сторонами 2а, 2b, продолжая его диагонали “до бесконечности”. Строим гиперболу с вершинами в точках (а, 0), (а, 0), приближая её ветви к асимптотам по мере удаления точки от начала координат (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Гипербола , где а – мнимая полуось, b – действительная полуось, называется сопряжённой по отношению к предыдущей. Её фокусы расположены на оси Оу (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Парабола – это множество точек, равноудалённых от данной точки – фокуса и от прямой, называемой директрисой.

С делаем схематический чертёж (рис. 2.8), выбрав прямоугольную систему координат, расположив на оси ох фокус F и директрису симметрично начала координат на расстоянии р друг от друга. Тогда любая точка М(х, у) параболы подчиняется условию

КМ = МF.

По формуле расстояния между двумя точками запишем

Возводя в квадрат обе части равенства, имеем

, или у² = 2рх.

Это каноническое уравнение параболы с фокусом и директрисой , О(0,0) – вершина параболы,

2р – длина главного диаметра TL, проведённого через фокус, перпендикулярно оси.

Если вершина параболы смещена относительно начала координат в точку (x₀, y₀), уравнение примет вид

или

.

Раскрывая скобки, получим общее уравнение параболы:

, или ,

т. е. общее уравнение параболы содержит квадрат только одной из переменных.

П арабола  (рис. 2.9) называется сопряжённой по отношению к предыдущей, изображённой на рис. 2.8. Её ось симметрии – ось Oу,

 – фокус параболы, – директриса параболы.