Пример выполнения лабораторной работы № 5

Задание 1.

При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве средних нескольких нормально распределенных генеральных совокупностей с неизвестными, но равными дисперсиями.

: ;

: .

Исходные данные помещены в таблицу 8

Таблица 8

	Уровни фактора
1	20	9	17	16	10	21
2	18	14	15	8	15	19
3	23	8	15	20	18	21
4	19	25	14	17	10	13
5	16	12	18	14	20	11
	19,2	13,6	15,8	15	14,6	17

В таблице 8 – групповые средние подсчитаны по формуле

,

где – количество наблюдений на одном уровне.

Подсчитаем общую среднюю по формуле

,

где – количество уровней фактора F.

.

Введем новые переменные , где – условный нуль.

Вычислим общую, факторную и остаточную суммы квадратов отклонений по формулам:

, (5)

, (6)

, (7)

где

; ; . (8)

Новые переменные и некоторые вычисления приведены в таблице 9.

Таблица 9

j i													
1	5	25	‑ 6	36	‑ 2	4	1	1	‑ 5	25	6	36
2	3	9	‑ 1	1	0	0	‑ 7	49	0	0	4	16
3	8	64	‑ 7	49	0	0	5	25	3	9	6	36
4	4	16	‑ 10	100	‑ 1	1	2	4	‑ 5	25	‑ 2	4
5	1	1	‑ 3	9	3	9	‑ 1	1	5	25	‑ 4	16
	–	115	–	195	–	14	–	80	–	84	–	108
	21	–	‑ 7	–	4	–	0	–	‑ 2	–	10	–
	441	–	49	–	16	–	0	–	4	–	100	–

В результате вычислений по формулам (6), (7), (8), (9) получим:

;

;

.

Вычислим факторную и остаточную дисперсии по формулам:

;

.

Сравним факторную и остаточную дисперсию по критерию Фишера. Для этого найдем критическую точку правосторонней критической области, используя таблицу приложения 4.

.

Вычислим наблюдаемое значение критерия

.

Так как, , то факторная дисперсия и остаточная различаются незначимо. Это означает, что влияние фактора практически не проявляется. Различие групповых средних объясняется случайными причинами. Нулевую гипотезу о равенстве средних отвергать нет оснований. Для изучения данного специального раздела математики можно использовать любой из предлагаемых источников.

Задание 2.

На уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве средних нескольких нормально распределенных генеральных совокупностей с неизвестными, но равными дисперсиями. Количество наблюдений на различных уровнях фактора F различно:

: ;

: .

Исходные данные помещены в таблице 10

Таблица 10

j i	Уровни фактора						
1	19	27	29	43	17	8
2	35	38	37	39	31	–
3	25	36	29	22	12	–
4	43	44	25	36	24	–
5	–	11	22	23	–	–
6	–	33	–	–	–	–
7	–	19	–	–	–	–
	4	7	5	5	4	1	26
	30,5	29,5	28,4	32,6	21	8	–

В таблице 10 групповые средние вычислялись по формуле , где – количество наблюдений на j – том уровне фактора.

Общую среднюю подсчитаем по формуле , где , – количество уровней фактора.

.

Вводим новые переменные , где .

Вычисляем общую, факторную и остаточную сумму квадратов отклонений по формулам

, (9)

, (10)

, (11)

где

; . (12)

Новые переменные и некоторые вычисления приведены в таблице 11.

Таблица 11

j i													
1	-8	64	0	0	2	4	16	256	-10	100	-19	361
2	8	64	11	121	10	100	12	144	4	16	–	–
3	-2	4	9	81	2	4	-5	25	-15	225	–	–
4	16	256	17	289	-2	4	9	81	-3	9	–	–
5	–	–	-16	256	-5	25	-4	16	–	–	–	–
6	–	–	6	36	–	–	–	–	–	–	–	–
7	–	–	8	64	–	–	–	–	–	–	–	–
	4		7		5		5		4		1
	–	388	–	847	–	137	–	522	–	350	–	361
	14	–	19	–	7	–	28	–	-24	–	-19	–
	49	–	51,6	–	9,8	–	156,8	–	144	–	361	–

По формулам (9), (10), (11) с использованием таблицы 11 получим:

;

;

.

Факторную и остаточную дисперсии найдем по формулам:

;

.

Сравним факторную и остаточную дисперсии по критерию Фишера. Для этого вычислим

.

Критическую точку правосторонней критической области найдем по заданному уровню значимости ; используя таблицу приложения 4.

Поскольку , различие факторной и остаточной дисперсий нельзя считать значимым. Следовательно, нулевую гипотезу о равенстве средних нельзя отвергать. Значит, уровень подготовки спортсменов во всех плавательных центрах в среднем одинаков. Разница в результатах контрольных соревнований объясняется случайными причинами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М., 1997. – 368с.

2. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. – М., 1980. – 610с.

3. Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Изд. «Высшая школа», 1991. – 157с.

ПРИЛОЖЕНИЯ