§ 7. Ускорение.

12. Ускорение - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости по величине и направлению, и численно равная отношению приращения вектора скорости к промежутку времени, за который произошло это изменение.

- среднее ускорение.

Здесь - приращение вектора скорости.

Н аправление вектора ускорения совпадает с направлением изменения вектора скорости (рис. 9). Если бесконечно уменьшать промежуток времени Δt, то в пределе получим мгновенное ускорение:

.

Мгновенное ускорение - это векторная величина равная первой производной вектора скорости по времени или второй производной радиуса - вектора по времени.

Примечание: ускорение играет по отношению к скорости такую же роль, какую скорость играет по отношению к радиусу - вектору.

Ускорение можно разложить на составляющие. Поэтому можно задать вектор ускорения с учётом проекций на координатные оси.

Е сть и ещё один способ разложения вектора ускорения на составляющие. Вектор скорости может изменяться как по величине ( ), так и по направлению ( ) (рис. 10). Поэтому ускорение можно представить в виде двух составляющих, одна из которых характеризует изменение вектора скорости по модулю, а другая по направлению. Это можно сделать с учётом, что:

.

Тогда:

, откуда по правилам

дифференцирования получим:

.

Итак, получили два слагаемых для нахождения полного ускорения.

Касательное (тангенциальное) . Направлена по касательной к траектории в точке. Показывает изменение модуля скорости со временем. Модуль тангенциального ускорения: . Если - скорость растёт по величине и . Если - скорость уменьшается и . Если - движение равномерное.

Нормальное (центростремительное) . Направлена по нормали к траектории в точке. Показывает изменение направления скорости со временем. Модуль нормального ускорения тем больше, чем сильнее искривлена траектория. Искривление траектории можно охарактеризовать двумя способами. 1. Кривизна: , где Δφ - угол между касательными кривой в точках, отстоящих на Δs (рис. 11). 2. Радиус кривизны: . Если точки 1 и 2 расположены близко друг к другу, то: Так как , а , то: , подставив это выражение в формулу для нормального ускорения получим: 1- модуль нормального ускорения.

Р азложение вектора ускорения на составляющие производится следующим образом: сравнивают длины векторов скорости. Затем один из векторов скорости (например ) достраивают на разность этих векторов (рис. 10). Затем сравнивают их направления.

Итак, ускорение можно представить в виде двух составляющих:

- полное ускорение тела.

- модуль полного ускорения.

§ 8. Классификация движения.

13. В зависимости от того, каковы по характеру тангенциальная и нормальная составляющие полного ускорения движения, конкретное движение можно отнести к тому или иному виду.

Виды движения:

1. a_τ= 0, a_n= 0 - движение равномерное и прямолинейное;

2. a_τ= const, a_n= 0 - движение равнопеременное и

прямолинейное;

3. a_τ= f(t), a_n= 0 - движение с переменным ускорением по прямой;

4. a_τ= 0, a_n= const - равномерное движение по окружности¹;

5. a_τ=0, a_n= f(t) - равномерное движение по кривой;

6. a_τ= const, a_n= f(t) - равнопеременное движение по кривой;

7. a_τ= f(t), a_n= f(t) - движение с переменным ускорением по кривой.

Уравнения равнопеременного прямолинейного движения.

14. Перечисленные выше виды движения описываются кинематическими уравнениями, которые получаются из определений скорости и ускорения. Рассмотрим, например, вывод уравнений равнопеременного прямолинейного движения, так как такой вид движения часто встречается на практике. Для этого запишем определения скорости и ускорения.

Ускорение: ; так как движение прямолинейное и равнопеременное, то .

Скорость: .

Получили два дифференциальных уравнения, которые нужно решить.

Решением данных дифференциальных уравнений являются функции, определяемые в результате интегрирования этих уравнений.

Таким образом, равнопеременное прямолинейное движение можно описать системой уравнений: