§ 18. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.

3 8. Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси (рис. 34). Мысленно разобьём тело на большое количество частиц – элементарных масс. Для некоторой элементарной массы m_i линейная скорость определяется как , или . Тогда:

- кинетическая энергия

выделенной частицы вращающегося тела.

Тогда кинетическая энергия всего вращающегося тела:

- кинетическая

энергия вращающегося тела относительно неподвижной оси.

Пусть на m_i действует внутренняя сила и внешняя сила , которые совершают работу, тогда:

.

Для всего тела:

- элементарная работа,

совершаемая над вращающимся телом.

Так как сумма моментов внутренних сил равна нулю, то:

.

Учитывая, что , получим:

- работа внешних сил, вращающих тело.

Примечание: все полученные формулы для вращательного движения аналогичны формулам для поступательного движения.

Пусть тело вращается произвольным образом. Если рассматривать вращение тела относительно системы координат, начало которой помещено в центр инерции тела, то:

Представив и учитывая, что получим:

.

Расписав скалярные произведения через проекции и на оси координат:

.

Раскрыв скобки и объединив слагаемые с одинаковыми произведениями компонент скорости, получим:

- кинетическая энергия вращающегося тела

относительно неподвижной точки, совпадающей с его центром масс.

Если оси связанной с телом системы координат выбрать так, что они совпали бы с главными осями инерции тела, то:

- кинетическая энергия

вращающегося тела если оси системы координат тела совпадают с главными осями инерции.

Вывод: Кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения и квадрата угловой скорости в трёх случаях:

1. для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси;

2. для тела, вращающегося вокруг одной из главных осей инерции;

3. для шарового волчка.

Кинетическая энергия тела при плоском движении.

39. Плоское движение тела может быть представлено как наложение двух движений – поступательного и вращательного¹.

Плоским движением тела называют такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях.

Скорость i-ой элементарной массы будет определяться следующим образом:

- скорость i-ой частицы, где - скорость

некоторой точки O, - радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке O.

Тогда:

.

Так как , и осуществив циклическую перестановку множителей во втором слагаемом, получим:

Кинетическая энергия всего тела при плоском движении:

- кинетическая энергия тела при

плоском движении.

Если в качестве точки O взять центр инерции, то , тогда:

- кинетическая энергия тела при плоском

движении.

Кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения тела со скоростью, равной скорости центра инерции, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции тела.

§ 19. Законы сохранения.

40. Выделим для рассмотрения некоторую систему тел. На тела, входящие в эту систему, может действовать сила со стороны других тел, как входящих в систему, так и не принадлежащих ей.

Внутренние (на тело действуют тела системы)

Внешние (на тело действуют тела, не принадлежащие системе)

Система называется замкнутой (изолированной) если на неё не действуют внешние силы.

Для замкнутых систем существуют такие функции координат и скоростей частиц выбранной системы (интегралы движения), которые сохраняют при движении постоянные значения.

Для системы из N частиц можно найти интегралов движения, но особый интерес представляют собой только следующие три аддитивные интегралы движения: энергия, импульс и момент импульса.

Аддитивными интегралами движения называются такие функции координат и скоростей частиц системы, что их значения для систем, состоящих из частей, взаимодействием которых можно пренебречь, равно сумме значений для каждой части в отдельности.

Энергия

Импульс

Момент импульса

энергии следствие однородности времени (равнозначность всех моментов времени)

импульса следствие однородности пространства (одинаковость свойств пространства во всех его точках)

момента импульса следствие изотропии пространства (одинаковость свойств пространства по всем направлениям)

Примечание: законы сохранения получаются из уравнений Ньютона, но они обладают гораздо большей общностью, чем законы Ньютона. Законы сохранения являются точными законами.

Часто бывает, что точное решение уравнений движения очень сложно. Но с помощью законов сохранения можно получить ряд важных данных о протекании механических явлений (даже если силы оказываются неизвестными).

Закон сохранения энергии.

4 1. Рассмотрим систему, состоящую из N взаимодействующих частиц, где - силы взаимодействия между этими частицами, являющиеся неконсервативными (рис. 35). Пусть на систему тел действуют внешняя консервативная сила и внешняя неконсервативная сила . Запишем для каждой частицы II закон Ньютона:

.

Примечание: так как частица не действует сама на себя, то слагаемые вида , где , отсутствуют.

Умножим скалярно каждое уравнение на .

.

Сложим почленно все уравнения и получим:

;

.

Таким образом, получим:

, или .

Тогда:

, или - полная энергия системы.

Если система замкнута, то работа внешних неконсервативных сил отсутствует.

 -

Закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия системы тел, на которые действуют лишь консервативные силы, остаётся постоянной.

Если же и потенциальная энергия внешнего силового поля не учитывается, то:

 -

Закон сохранения механической энергии для замкнутой системы тел: полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остаётся постоянной.

Ранее уже отмечалось, что законы сохранения имеют более общий смысл, а следовательно и более широкую область применения, чем законы Ньютона. Поэтому, закон сохранения энергии можно сформулировать и в более широком смысле.

Закон сохранения энергии: энергия ниоткуда не возникает и никуда не исчезает, она лишь преобразуется из одного вида в другой.

Равновесие механической системы.

42. С понятием энергии и законом сохранения энергии тесно связано понятие равновесия механической системы.

Если система тел находится в таком состоянии, что относительные скорости каждого тела равны нулю, а их потенциальные энергии имеют минимальные значения, то без воздействия извне тела системы не смогут прийти в движение, то есть, будут находиться в состояниях равновесия.

Состояние равновесия механической системы эквивалентно тому, что результирующая сила и результирующий момент сил, действующие на систему, равны нулю:

- условие равновесия механической системы.

Устойчивое (при выводе системы из равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть систему в это состояние).

Безразличное (при выводе системы из равновесия не возникает ни каких сил, действующих на систему).

Неустойчивое (при выводе системы из равновесия возникают силы, стремящиеся удалить систему от этого состояния).

Часто для механической системы строят график зависимости потенциальной энергии от координаты. Такой график называют потенциальной кривой, для которой можно выделить промежутки, называемые потенциальной ямой и потенциальным барьером.

Потенциальной ямой называют участок потенциальной кривой, каждая точка которой соответствует потенциальной энергии меньшей полной энергии системы.

О трезок называется потенциальной ямой (рис. 36).

Отрезок называется потенциальным барьером (рис. 36).

Тело, находящееся на дне потенциальной ямы, находится в состоянии устойчивого равновесия, а тело, находящееся на пике потенциального барьера, находится в состоянии неустойчивого равновесия.

Если частица при своём движении не может удалиться на бесконечность, то её движение называют финитным, в противном случае движение является инфинитным.

Закон сохранения импульса.

4 3. Пусть дана система состоящая из N взаимодействующих частиц. Пусть на эту систему действуют внешние силы, результирующая которых (рис. 37). Запишем для каждой частицы II закон Ньютона.

.

Примечание: так как частица не действует сама на себя, то слагаемые вида , где , отсутствуют.

Сложим почленно вместе эти уравнения и получим:

.

По III закону Ньютона силы вида связаны следующим образом:

;

следовательно, сумма сил взаимодействия частиц системы равна нулю, откуда:

;

.

- импульс всей системы , тогда:

- закон изменения импульса механической системы.

Если система замкнута, то , откуда:

- закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса (I формулировка): скорость изменения импульса замкнутой системы равна 0.

Или по другому:

.

Закон сохранения импульса (II формулировка): импульс замкнутой системы есть величина постоянная.

Примечание: если внешние силы, действующие на систему, в сумме дают нуль, то импульс остаётся постоянным и для незамкнутой системы. Если же сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю в одном из направлений, то импульс также сохраняется в этом направлении.

Реактивное движение.

44. Большое значение имеет закон сохранения импульса для объяснения широкого круга явлений, многие из которых успешно применяются в практической деятельности человека. Примером этого может служить теория реактивного движения, в основе которой лежит закон сохранения импульса.

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы.

Движение, осуществляемое за счёт уменьшения массы тела при выбросе газов от сгорающего топлива, называется реактивным движением (рис. 38).

Р ассмотрим систему, которая имеет массу m в начальный момент времени t и движется с начальной скоростью . Газы выбрасываются из ракеты со скоростью относительно ракеты. Через некоторый бесконечно малый промежуток времени масса ракеты уменьшится на , а скорость ракеты увеличится на . Всё это можно представить в виде таблицы:

время	масса ракеты	скорость ракеты

Запишем закон изменения импульса для системы ракета – сгорающие газы.

, где - скорость газов

относительно земли.

.

Примечание: так как есть величина бесконечно малая второго порядка, то её можно не учитывать, то есть .

Тогда:

.

Продифференцируем полученное равенство по времени.

 , если учесть, что , то:

- уравнение поступательного движения

тела переменной массы (уравнение Мещёрского).

Примечание: если , то - скорость отделяющихся частиц после отделения, а если , то - скорость присоединяющихся частиц после присоединения.

- реактивная сила, и, следовательно:

.

Если противоположно направлена , то тело ускоряется, а если направлены в одну сторону, то оно замедляется.

Из уравнения Мещёрского следует, что существует возможность космических полётов с помощью реактивного движения.¹ Пусть на тело действует реактивная сила. Тогда, уравнение Мещёрского можно преобразовать, если будут выполнены следующие условия:

1. Внешние силы на тело не действуют ( ).

2. Скорость выброса сгорающих газов постоянна ( ).

Тогда:

 ;

;

;

;

.

Введём ряд условий для определения постоянной интегрирования.

1. В начальный момент времени скорость ракеты равна нулю.

2. Стартовая масса ракеты имеет начальное значение .

Тогда:

 ;

.

- формула Циолковского.

Следствие 1: Чем больше конечная масса ракеты, тем больше должна быть её стартовая масса.

Следствие 1: Чем больше скорость истечения газов, тем больше может быть её конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Примечание: все выводы получены для нерелятивистских скоростей.

Закон сохранения момента импульса.

45. Рассмотрим систему состоящую из взаимодействующих частиц. Частицы взаимодействуют друг с другом с силами вида , где (частицы не действуют сами на себя). Эти силы равны по модулю и противоположны по направлению. На каждую частицу действуют силы со стороны внешних тел (рис. 39). Запишем II закон Ньютона для каждой частицы.

.

Умножим записанные уравнения векторно слева на соответствующие радиусы-векторы частиц. Внутренние силы имеют такую же нумерацию, как и в случае получения законов сохранения энергии и импульса (рис. 35, 37), поэтому эти силы (выделены серым цветом) не подписаны на изображении нашей системы, чтобы не загромождать чертёж (рис. 39).

.

Так как по III закону Ньютона , то уравнения можно записать в следующей форме.

.

Сложим почленно полученные уравнения, предварительно сделав замену .

.

Примечание: так как векторы и являются коллинеарными, то их векторное произведение равно нулю.

Тогда:

- закон изменения момента импульса.

Если система является замкнутой, то внешние силы, действующие на вращающееся тело, равны нулю. Следовательно:

, или .

Для системы можно ввести понятие момента импульса этой системы.

Моментом импульса системы называется геометрическая сумма моментов импульсов частиц, входящих в систему:

.

С учётом введённого понятия закон сохранения момента импульса запишется так:

, или - закон сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса (I формулировка): скорость изменения момента импульса замкнутой системы равна 0.

Или по другому:

Закон сохранения момента импульса (II формулировка): момент импульса замкнутой системы есть величина постоянная.

Примечание: момент импульса остаётся постоянным и для незамкнутых систем при условии, что суммарный момент внешних сил равен нулю:

.