§ 17. Энергия. Работа. Мощность.

3 4. Пусть дана материальная точка, которая движется по некоторой траектории под действием силы из положения 1 в положение 2 (рис. 31). Запишем уравнение движения этой частицы:

.

Умножим обе части этого уравнения на бесконечно малое перемещение . Тогда:

-получили

дифференциальное уравнение, которое нужно решить:

, где - кинетическая

энергия материальной точки.

Кинетическую энергию можно найти и другими способами, используя выражение для нахождения импульса:

.

Если на тело действует сила, то кинетическая энергия изменяется со временем. Тогда говорят, что при перемещении частицы на силой совершается элементарная работа:

- элементарная работа, совершённая силой .

Работа – скалярная величина, характеризующая изменение энергии обусловленное действием силы на движущуюся частицу, численно равная скалярному произведению силы и перемещения тела, которое произошло под действием этой силы.

Используя определение скалярного произведения двух векторов, можно представить выражение для работы в следующем виде:

, где - угол между и .

Отсюда следует, что работа может быть как положительной, так и отрицательной, а в некоторых случаях равна нулю:

1. если  0 (при 0 ≤ < ), то A  0 (работа положительна, а сила разгоняет тело);

2. если < 0 (при < ≤ ), то A < 0 (работа отрицательна, сила тормозит тело);

3. если = 0 (при = ), то A = 0 (работа не совершается);

4. если , то A = 0 (работа также не совершается);

5. если F = 0, то A = 0 (работа не совершается, тело движется по инерции).

Единицы измерения работы.

Единицы измерения работы являются производными единицами:

- в СИ;

- в СГС.

Теоремы о кинетической и потенциальной энергиях.

35. Работа является аддитивной величиной, то есть, для того, чтобы найти работу силы на всём пути, нужно сложить работы, совершённые на каждом участке этого пути. Сложение элементарных работ сводится к интегрированию.

Работа результирующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности:

.

В ообще аддитивность работы хорошо видна при построении графика зависимости силы от пройденного пути (рис. 32). Так образом, при бесконечно малом перемещении под действием силы совершается элементарная работа, равная площади прямоугольника со сторонами и ds. Вся же работа на пути от 1 до 2 будет находится как сумма площадей всех аналогичных прямоугольников, и в конечном счёте получим, что полная работа равна площади фигуры под графиком функции , ограниченной вертикальными линиями 1 и 2.

Тогда:

- полная работа на всём пути из положения 1 в положение 2.

Таким образом, доказали теорему о кинетической энергии материальной точки.

Работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идёт на приращение¹ кинетической энергии частицы:

.

Теперь найдём работу, совершённую деформированной пружиной:

- работа деформированной

пружины.

Аналогичным образом можно поступить в случае нахождения работы, совершённой упруго деформированным стержнем:

- работа деформированного

стержня, где E_ю.- модуль Юнга.

Теперь найдём работу силы тяжести при падении тела с некоторой высоты:

- работа силы

тяжести.

Во всех трёх случаях работа совершается так называемыми консервативными силами. Здесь же видим, что работа равна убыли некоторой величины, называемой потенциальной энергией. Полученное утверждение называют теоремой о потенциальной энергии.

Работа, совершаемая консервативными силами над телом, равна убыли потенциальной энергии тела:

.

Примечание: из полученных теорем о кинетической и потенциальной энергиях видно, что единицы измерения энергии и единицы измерения работы совпадают.

Выражение для элементарной работы можно представить в следующем виде:

,

Тогда полная работа равна:

.

Изменение кинетической или потенциальной энергии может происходить с различной скоростью. Это означает, что работа также имеет скорость совершения. Величина, характеризующая эту скорость называется мощностью:

Мощность – скалярная физическая величина, характеризующая быстроту совершения работы, численно равная отношению работы ко времени, за которое она была совершена:

.

Можно получить также:

.

Единицы измерения мощности.

Единицы измерения мощности являются производными единицами:

- в СИ;

- в СГС;

- внесистемная единица измерения мощности.

Потенциальное поле сил.

3 6. Если частица в каждой точке пространства подвержена воздействию других тел, то она находится в поле сил, действующих со стороны этих тел.

Если силовое поле можно описать с помощью функции , такой что:

; ; , то оно является потенциальным,

где Π – потенциал силового поля.

П римечание: потенциал определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной.

Если поле стационарно, то:

.

В случае потенциального силового поля имеем:

, откуда следует:

¹ - сила потенциального

силового поля.

Работа силового поля определяется так:

- работа потенциального

силового поля.

Р абота сил потенциального силового поля не зависит от формы траектории, вдоль которой движется частица, а зависит только от начального и конечного положения частицы.

Примечание: частным случаем неконсервативных сил являются диссипативные силы, отличительной особенностью которых является то, что они направлены в противоположную сторону скорости движения тела.

П римечание: работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю.

Пусть произвольный замкнутый путь произвольно разбит на две части (рис. 33). Тогда работа на всём пути будет равна сумме работ, совершаемых на каждом из участков:

.

Из рисунка видно, что перемещения в проекциях на выбранную ось на I и II участках имеют разные знаки. Кроме того, поскольку силы консервативны, а их работа не зависит от формы траектории, следовательно:

- на замкнутом пути.

Потенциальная энергия во внешнем поле сил.

3 7. Выше уже было упомянуто о двух видах механической энергии – кинетической и потенциальной.

Работа, совершаемая силой стационарного потенциального поля, определяется следующим образом:

, откуда видно,

что .

Тогда:

- полная механическая энергия.

Отсюда видно, что понятие потенциальной энергии имеет большое значение. Связь между потенциальной энергией и силой потенциального поля имеет следующий вид:

Сила, действующая на частицу в стационарном потенциальном силовом поле, равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком, а её компоненты равны:

; ; .

Свойства потенциальной энергии.

1. Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной.

2. Нулевой (начальный) уровень потенциальной энергии выбирается условно.

3. Конкретное выражение для вычисления потенциальной энергии зависит от характера силового поля:

- потенциальная энергия поля силы тяжести;

- потенциальная энергия упруго деформированной пружины;

- потенциальная энергия упруго деформированного стержня;

- потенциальная энергия заряженного конденсатора.

4. Потенциальная энергия может принимать как положительные, так и отрицательные значения (в отличие от кинетической энергии, которая всегда положительна).