§ 16. Динамика вращательного движения.
2
9.
Теперь рассмотрим важный случай в
механике – случай вращения тела. При
рассмотрении поступательного движения
тела можно было выбрать произвольную
точку этого тела, и описать движение
этой точки, предполагая, что так движутся
все точки поступательно движущегося
тела. Таким образом, описание поступательного
движения тела в целом можно свести к
описанию движения любой точки этого
тела.
При рассмотрении вращательного движения тела обнаруживается, что все точки такого тела движутся различным образом, а именно: имеют различные траектории, скорости, совершают различные перемещения и т. д. Мысленно разбив тело на большое количество частиц, можно описать криволинейное движение каждой частицы в отдельности.
Пусть некоторая частица движется по криволинейной траектории относительно точки O. Такое движение возможно, если на частицу действует сила . Положение частицы задаётся радиусом - вектором, частица имеет массу и скорость (рис. 26). Каждый участок криволинейной траектории частицы можно охарактеризовать радиусом кривизны. Для такой частицы можно определить её импульс. Но есть ещё одна величина, которая характеризует движение частицы – это момент импульса.
В
екторная
величина, являющаяся динамической
характеристикой вращательного движения,
равная векторному произведению радиуса
- вектора частицы относительно некоторой
точки и импульса этой частицы, называется
моментом импульса частицы относительно
некоторой точки.
.
Момент импульса частицы относительно
выбранной точки есть величина
псевдовекторная, направление которой
находится по правилу правого винта:
если вращать винт от вектора
к вектору
по наименьшему углу, то направление
поступательного движения этого винта
укажет направление вектора
(рис. 26).
Модуль момента импульса частицы относительно выбранного начала отсчёта:
,
где
- угол между радиусом –
вектором и вектором импульса частицы.
Если рассматривать вращающееся твёрдое тело, то его можно представить в виде системы частиц, каждая из которых движется по окружности (рис. 27), тогда для каждой частицы можно определить момент импульса относительно выбранного начала отсчёта. Складывая (геометрически) моменты импульсов всех точек тела, можно найти момент импульса всего тела в целом.
Момент импульса тела (системы частиц) относительно выбранной точки:
.
Чаще для вращающегося тела применяют не момент импульса этого тела относительно некоторой точки, а момент импульса тела относительно оси вращения.
Моментом импульса тела (системы частиц) относительно неподвижной оси называют проекцию на эту ось момента импульса тела (системы частиц) относительно некоторой неподвижной точки принадлежащей этой оси (рис. 27):
.
Примечание: иногда момент
импульса тела относительно неподвижной
оси представляют в виде вектора
(рис. 27).
В
ведём
ещё одну динамическую величину,
характеризующую воздействие внешних
тел на рассматриваемое вращающееся
тело.
Векторная величина, характеризующая способность силы вращать тело вокруг неподвижной точки, численно равная векторному произведению радиуса – вектора частицы и силы, приложенной к этой частице, называется моментом силы (рис. 28):
.
Модуль момента силы частицы относительно неподвижной точки:
- где
является
плечом момента силы частицы относительно неподвижной точки.
Направление вектора момента силы частицы относительно неподвижной точки определяется по правилу правого винта, который нужно вращать по наименьшему углу от радиуса – вектора к вектору силы. Тогда, поступательное движение такого винта укажет направление момента силы.
П
одобно
тому, как наряду с моментом импульса
частицы относительно неподвижной точки
применяют момент импульса частицы
относительно неподвижной оси, так и
наряду с моментом силы относительно
точки применяют момент силы относительно
оси.
Моментом силы, приложенным к частице, относительно неподвижной оси называют проекцию момента силы частицы относительно неподвижной точки, лежащей на этой оси (рис. 28):
.
Примечание: иногда момент силы
частицы относительно неподвижной оси
представляют в виде вектора
(рис. 28).
Пусть на две произвольные точки тела действуют две силы, противоположные по направлению, но одинаковые по модулю. Казалось бы, что такое тело должно находиться в состоянии равновесия по II закону Ньютона, но так бывает не всегда. Если эти силы не находятся на одной прямой, то тело под действием этих сил придёт во вращение. Говорят, что в этом случае на тело действует пара сил.
Две равные по величине противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называются парой сил, а расстояние между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары (рис. 29).
- момент
пары сил.
Модуль момента пары сил:
,
где
- наименьший угол между вектором
силы
и
,
а l – плечо момента
пары сил.
Примечание: момент пары сил не зависит от выбора точки, относительно которой он вычисляется.
Движение центра масс тела.
30. Пусть имеется некоторое тело,
которое мы будем считать абсолютно
твёрдым. Для исследования движения
этого тела мысленно разобьём его на
элементарные массы
,
каждую из которых можно принять за
материальную точку. Взаимное расположение
этих материальных точек не изменяется.
Запишем для каждой
II закон Ньютона:
Второй закон Ньютона для каждой частицы абсолютно твёрдого тела:
,
где
- результирующая всех внутренних сил,
действующих
на частицу, а
- результирующая всех внешних сил,
действующих на эту же частицу.
Полученные уравнения для каждой частицы нужно сложить, тогда получим II закон Ньютона для всего тела. При этом нужно учесть, что сумма внутренних сил в твёрдом теле равна нулю.
Второй закон Ньютона для всего твёрдого тела:
, где m – масса
всего
твёрдого
тела, а
- ускорение точки этого тела, которая
называется центром масс.
Полученное выше выражение позволяет представить импульс системы частиц в виде произведения суммарной массы частиц на скорость центра масс системы.
Импульс центра масс тела:
.
Центром масс (инерции) системы частиц (тела) называется точка, положение которой задаётся радиусом – вектором:
.
Декартовы координаты центра масс системы
определяются проекциями
на координатные оси.
- декартовы координаты
центра масс.
Примечание: в однородном поле сил тяжести центр инерции совпадает с центром тяжести системы.
Зная импульс центра масс системы, можно определить скорость движения центра масс.
Скорость движения центра масс системы:
.
Если
,
то центр инерции системы либо движется
прямолинейно и равномерно, либо остаётся
неподвижным.
Центр масс твёрдого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил.
Основной закон динамики вращательного движения.
31. Получим основной закон динамики вращательного движения тела. Для этого умножим векторно слева II закон Ньютона для каждой частицы этого тела, а затем сложим полученные уравнения.
- для каждой частицы тела;
- для всего тела в целом.
Так как сумма моментов внутренних сил в абсолютно твёрдом теле равна нулю, то:
.
Полученное выражение представляет собой закон динамики для вращающегося тела (аналог II закона Ньютона для поступательно движущегося тела).
1-я формулировка: скорость изменения момента импульса тела равна геометрической сумме действующих на тело моментов сил:
.
Произведём некоторые преобразования момента импульса частицы тела.
- для каждой частицы тела.
- так как все частицы абсолютно
твёрдого
тела движутся по окружностям, то
и
для всех частиц взаимноперпендикулярны,
следовательно
.
Заменив скорость частицы по формуле связи линейной и угловой скорости, получим:
- где Ri
радиус траектории частицы тела.
Найдём момент импульса тела относительно неподвижной оси.
Момент импульса частицы тела относительно неподвижной оси:
,где
- угол между
моментом
импульса частицы и осью вращения, а
.
Момент импульса тела относительно неподвижной оси:
,
где
- момент
инерции тела относительно выбранной неподвижной оси.
Примечание: проекция момента импульса частицы относительно выбранной точки на некоторую ось не зависит от того, где именно на оси расположена эта точка.
С учётом вышеизложенных преобразований и выводов, запишем закон динамики вращающегося тела в иной формулировке.
Если момент импульса тела относительно неподвижной оси по направлению совпадает с направлением угловой скорости, то:
- получили вторую формулировку
закона динамики вращательного движения.
2-я формулировка: момент внешних сил, действующих на тело, равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения и углового ускорения этого тела:
.
Момент инерции тела (системы частиц) относительно выбранной оси.
32. Рассмотрим понятие момента инерции тела (системы частиц) относительно выбранной оси.
Величина, характеризующая инертность тела при вращении его относительно некоторой оси, и численно равная сумме произведений масс частей тела и квадратов расстояний от этих частей до оси вращения, называется моментом инерции тела относительно некоторой оси.
Из определения момента инерции видно, что эта величина является аддитивной.
Момент инерции тела относительно выбранной оси равен сумме моментов инерции его частей относительно этой же оси:
,
где
- плотность вещества.
Полученное выражение тем точнее, чем меньше части, на которые разбивается тело.
- момент инерции тела относительно
выбранной оси вращения, в случае неравномерно распределённой массы.
До сих пор мы говорили о вращении тела вокруг неподвижной оси. Это достаточно важный случай вращательного движения, который применяется в технике. Для того, чтобы ось вращения была неподвижной, её нужно удерживать с помощью внешних сил. Но есть такие оси вращения у тел, которые остаются неподвижными и в случае отсутствия внешних воздействий на эти оси.
Ось, положение которой в пространстве остаётся неизменным при вращении вокруг неё тела в отсутствие внешних сил, называется свободной осью тела.
Три взаимноперпендикулярные, проходящие через центр масс тела оси, которые могут служить свободными осями, называются главными осями инерции тела.
Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции тела1.
Моменты инерции однородных тел простейших
(симметричных) форм относительно
некоторых осей.
Тело |
Положение оси |
Момент инерции |
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) радиусом R и массой m |
Ось проходит через центр масс тела перпендикулярно его основаниям |
|
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) внешним радиусом R1, внутренним радиусом R2 и массой m |
Ось проходит через центр масс тела перпендикулярно его основаниям |
|
Сплошной цилиндр (диск) радиусом R и массой m |
Ось проходит через центр масс тела перпендикулярно его основаниям |
|
Сплошной диск радиусом R и массой m |
Ось проходит через центр масс тела и лежит в его плоскости |
|
Сплошной шар радиусом R и массой m |
Ось проходит через центр масс шара |
|
Тонкостенная сфера радиусом R и массой m |
Ось проходит через центр масс сферы |
|
Прямой тонкий стержень длиной l и массой m |
Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину |
|
Балка (прямоугольный стержень) длиной l, шириной d и массой m |
Ось перпендикулярна балке и проходит через её середину |
|
Куб со стороной d и массой m |
Ось проходит через центр масс и перпендикулярна стороне куба |
|
Прямой тонкий стержень длиной l и массой m |
Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец |
|
Теорема Гюйгенса-Штейнера.
33. Для вычисления моментов инерции тел относительно осей, не проходящих через центр инерции, используют теорему Гюйгенса-Штейнера.
Т
еорема
Гюйгенса-Штейнера: момент инерции
тела относительно произвольной оси
равен сумме момента инерции этого тела,
относительно оси параллельной данной
и проходящей через центр масс тела, и
произведения массы тела и квадрата
расстояния между осями (рис.30):
.
Доказательство: Пусть для
рассматриваемого тела выделена ось,
проходящая через точку O,
тогда можно определить ось, проходящую
через центр масс тела C
и параллельную выбранной оси. Расстояние
между осями равно a.
Пусть
- вектор, соединяющий ось, проходящую
через точку O, с
массой произвольной частицы тела mi
по кратчайшему расстоянию, а
такой же, по сути, вектор, соединяющий
ось, проходящую через центр масс, с этой
же массой (рис. 30). Тогда:
.
Возведём в квадрат полученную сумму:
.
Умножив полученное выражение на массу рассматриваемой частицы тела, имеем:
.
Аналогичные выражения можно найти для каждой частицы тела, тогда, для всего тела в целом запишем:
.
Так как:
- момент инерции относительно
произвольной оси (проходящей через
точку O);
- произведение массы тела и квадрата
расстояния между выбранной осью и осью,
проходящей через центр масс, параллельно
выбранной;
- момент инерции тела относительно
оси, проходящей через центр масс тела,
параллельно выбранной оси, то:
.
Второе слагаемое
равно нулю, потому что сумма
равна произведению массы тела и вектора
,
проведённого от оси, проходящей через
центр масс его, к самому центру масс, а,
поскольку, центр масс лежит на этой оси,
то
,
и, следовательно,
.
Тогда, окончательно, запишем:
- что и требовалось доказать.
Примечание: если тело является однородным, то:
,
тогда:
- откуда следует коллинеарность вектора
угловой
скорости и момента импульса. В общем случае эти вектора неколлинеарны, их связь задаётся уравнениями:
момент инерции можно представить в
виде тензора второго ранга (тензора
инерции):
.