2.3 Дифференциалдық теңдеулер жүйесі
1. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Төменде берілген теңдеулер жүйесі:
бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесі деп аталады, мұндағы х-тәуелсіз айнымалы, у1, у2,…,уn – ізделінді функциялар.
Егер жүйе ізделінді функциялардың туындылары арқылы шешілген болса, яғни :
онда нормальдық жүйе деп аталады.
Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі деп теңдеулер жүйесін теңбе-теңдікке айналдыратын
,
,
…
функциялар жиынтығын айтады.
2. Тұрақты коэффициентті сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Дифференциалдық теңдеулер жүйесін қарастырғанда 3 теңдеуден тұратын (n=3) жүйемен шектелейік. Төменде айтылғандардың барлығы кез келген ретті жүйе үшін де орындалады.
Тұрақты коэффициентті нормальдық дифференциалдық теңдеулер жүйесі сызықтық біртекті делінеді, егер оны келесі түрде жазу мүмкін болса:
Жүйе
шешімдері:
түрінде ізделінеді. Келесі анықтауышты
есептейміз:
Анықтауышты есептеу нәтижесінде k-ға қатысты үшінші дәрежелі теңдеу аламыз. Бұл теңдеу сипаттамалық (характеристикалық) теңдеу деп аталады және оның k1 , k2, , k3. үш түбірі болады. Оның әрқайсысына берілген жүйенің нөлден өзге шешімі сәйкес келеді:
Бұл шешімдердің сызықтық комбинациясы берілген сызықтық біртекті жүйенің шешімі болады:
294. Жүйенің шешімін табу керек:
Шешуі. Сипаттамалық теңдеу құрастырайық:
1) k = -1.
Егер
= 1 десек, онда бұл жағдайда шешімдер:
2) k2 = -2.
Егер
= 1
десек,
онда:
3) k3 = 3.
Егер
= 3
десек,
онда:
Жалпы шешім:
.
▲
295. Жүйенің жалпы шешімін табу керек:
Шешуі. Сипаттамалық теңдеу құрастырайық:
Теңдеулер жүйесін шешейік:
k1 үшін:
делік
(кез
келген мән қоюға болады),
сонда:
k2 үшін :
делік
(кез келген мән қоюға болады), сонда:
Жүйенің
жалпы шешімі:
.
▲
Бұл мысалды басқа тәсілмен шығаруға болады:
Шешуі.
Бірінші теңдеуді дифференциалдаймыз:
Бұл өрнекке екінші теңдеудегі туындыны у =2x + 2y қоямыз.
Оған бірінші теңдеуден у тауып қоямыз:
деп
белгілей отырып,
жүйе
шешімін аламыз:
▲
296. Жүйенің жалпы шешімін табу керек:
Шешуі.
Бұл жүйе жоғарыда қаралған жүйеден
басқа текті, себебі біртекті
емес
(теңдеуде х-тәуелсіз аргумент бар). Шешу
үшін бірінші теңдеуді х бойынша
дифференциалдаймыз:
Екінші
теңдеудегі z’
алмастырсақ, онда:
.
Бірінші
теңдеуден z
–ті тауып осыған қойсақ, онда:
Енді алынған екінші ретті дифференциалдық теңдеуді шешейік:
Біртекті
теңдеудің жалпы шешімі:
Енді біртекті емес теңдеудің дара шешімін табайық:
Біртекті емес теңдеудің жалпы шешімі:
Алынған нәтижені жүйенің бірінші теңдеуіне қоямыз:
▲
Теңдеулер жүйесінің (сипаттамалық теңдеулерін құру арқылы) жалпы шешімін табу керек.
297.
Ж:
298.
Ж:
299.
Ж:
300.
Ж:
301.
Ж:
302.
Ж:
303.
Ж:
304.
Ж:
305.
Ж:
306.
Ж:
Дифференциалдық теңдеулер жүйесін белгісіздерді біртіндеп жою әдісі бойынша шешу керек:
307.
Ж:
308.
Ж:
309.
Ж:
310.
Ж:
311.
Ж:
312.
Ж:
313.
Ж:
314.
Ж:
315.
Ж:
316.
Ж:
