1 Көп аЙнымалылы функция
1.1 Көп айнымалылы функцияның анықталу облысы
Егер D облысында бір-бірінен тәуелсіз х,у айнымалыларының мәндер жұбына z айнымалының анықталған бір мәні сәйкес келсе, онда z айнымалы х және у айнымалыларына тәуелді екі айнымалылы функция деп аталады және оны
деп белгілейді.
функциясы анықталатын х
және у
қос мәндерінің (
)
жиынын осы функцияның анықталу
облысы
(аймағы)
деп
атайды.
функциясының анықталу облысы
жазықтығындағы нүктелер жиыны болады.
Дербес жағдайда, бүкіл
жазықтығы не
жазықтығының тұйық сызықтармен шектелген
бөлігі немесе осы жазықтықтың бірнеше
бөліктерінің жиынтығы болады.
функциясының
тік бұрышты координаттар жүйесіндегі
геометриялық бейнесі (графигі) осы
теңдеумен анықталатын бет болып табылады.
Егер бір-бірінен тәуелсіз (х1,х2,...,хn) айнымалыларының әрбір мәніне u айнымалысының анықталған бір мәні сәйкес келсе, онда u айнымалысы х1, х2, ... , хn айнымалыларына байланысты көп айнымалы функция деп аталады да
символдарымен белгіленеді.
1.
функциясының анықталу облысын табу
керек.
Шешуі. Берілген функция х пен у-тің кез келген мәнінде анықталған, яғни анықталу облысы бүкіл жазықтығы болып табылады. ▲
2.
функциясының анықталу облысын табу
керек.
Шешуі.
Логарифмдік функция
>
0,
яғни
<
болғанда ғана анықталады. Осыдан
функцияның анықталу облысы
түзуінен төмен орналасқан
жазықтығының бөлігі болып табылады.
▲
3.
функциясының анықталу облысын табу
керек.
Шешуі.
Функция нақты мәндерін
немесе
болғанда ғана қабылдайды, яғни функцияның
анықталу облысы центрі координаттар
жүйесінің бас нүктесі, ал радиусы а-ға
тең болатын дөңгелектен тыс орналасқан
жазықтығының бөлігі.
▲
4.
функциясының анықталу облысын табу
керек.
Шешуі.
Берілген функция
теңсіздігі орындалғанда ғана анықталады.
Осыдан функцияның анықталу облысы
және
түзулерінің арасында орналасқан
жазықтығының бөлігі болады. ▲
Берілген функцияның анықталу облысын табу керек:
5.
Ж:
центрі
ал радиусы а
болатын шеңберімен шектелген
жазықтығының бөлігі.
6.
Ж:
және
параболаларының арасында орналасқан,
нүктесі тиісті емес
жазықтығының бөлігі.
7.
Ж:
Бүкіл
жазықтығы.
8.
Ж:
түзуінен
жоғары орналасқан
жазықтығының бөлігі.
9.
Ж:
параболасынан жоғары орналасқан
жазықтығының бөлігі.
10.
Ж:
-1
және 3 ширектерінде орналасқан
жазықтығының бөлігі.
11.
Ж: 
түзуі
тиісті емес
жазықтығының бөлігі.
12.
Ж:
параболасы
және
түзуімен шектелген
жазықтығының бөлігі.
13.
Ж:
шеңберімен
шектелген және
нүктесі жататын
жазықтығының бөлігі.
14.
Ж:
жоғарғы жағынан
параболасы
және төменнен
түзуімен шектелген
жазықтығының бөлігі.
1.2 Көп айнымалылы функцияның туындылары мен дифференциалдары
1. Көп
айнымалылы функцияның дербес, толық
өсімшелері және дербес туындылары.
функциясымен анықталған бетті
қарастырайық. Оны
жазықтығымен қияйық. Бұл жазықтықта у
-тұрақты,
х
айнымалысына
өсімшесін берейік. Сонда х
айнымалысы бойынша z функциясының
дербес өсімшесі
формуласымен анықталады.
Сол
сияқты, егер
функциясы үшін х – тұрақты болып, ал у
айнымалысы бойынша
өсімшесін алса, онда у
айнымалысы бойынша дербес өсімшесі
формуласымен анықталады.
Егер х және у айнымалылары бойынша және өсімшілерін қабылдаса, онда z функциясының толық өсімшесі
формуласымен анықталады.
функциясының х
айнымалысы бойынша дербес туындысы
деп
шегін айтады.
функциясының у айнымалысы бойынша дербес туындысы деп
шегін
айтады.
Дербес
туындыны есептеу ережесі:
функциясының х
айнымалысы бойынша дербес туындысын
есептеу үшін
функциясының у – тұрақты деп алғандағы
х бойынша туындысын есептеу керек, және,
керісінше,
у
бойынша дербес туындысын есептеу үшін
функциясының х – тұрақты деп алғандағы
у бойынша туындысын есептейді.
15.
функциясының х
және у
айнымалылары бойынша дербес өсімшілерін
және толық өсімшесін табу керек.
Шешуі.
;
;
▲
16.
функцияның дербес туындысын табу керек.
Шешуі:
у-ті
тұрақты деп алып,
табамыз.
Осы
сияқты, х-ті
тұрақты деп алып,
табамыз.
▲
17.
функциясының дербес туындыларын табу
керек.
Шешуі: 
▲
18.
Үш айнымалылы
функциясының дербес туындыларын табу
керек.
Шешуі: 
▲
Берілген функциялардың дербес өсімшелерін табу керек:
19.
Ж: 
20.
Ж:
21.
Ж: 
22.
Ж: 
23.
Ж: 
24.
Ж: 
Берілген функциялардың дербес туындыларын табу керек:
25.
Ж: 
26.
Ж: 
27.
Ж: 
28.
Ж:
29.
Ж: 
30.
Ж:
31.
Ж: 
32.
Ж:
33.
Ж: 
34.
Ж: 
35.
Ж: 
36.
Ж: 
37.
Ж: 
38.
Ж: 
39.
Ж: 
40.
Ж: 
41.
Ж:
42.
Ж:
43.
Ж: 
44.
Ж: 
2. Көп
айнымалылы функцияның толық дифференциалы.
функциясының толық өсімшесі
-ті
дербес
туындылары арқылы
түрінде
жазуға болады, мұндағы алдыңғы екі
қосынды өсімшенің негізгі
бөлігі,
ал кейінгі екі қосынды қосалқы
бөлігі
деп аталады.
және
шамаларымен салыстырғанда қосалқы
бөлігі жоғары ретті шексіз аз шама
болғандықтан
ұмтылғанда
.
Толық өсімшенің негізгі бөлігі функцияның толық дифференциалы деп аталып,
деп
белгіленеді. Мұндағы
.
Егер
көп айнымалылы функциясы берілсе, онда
оның толық дифференциалы
формуласымен анықталады.
-ң
аз мәнінде дифференцианалданатын
функциясы үшін төмендегі жуықтап есептеу
формуласы қолданылады.
,
осыдан,
45.
функциясының толық дифференциалын табу
керек.
Шешуі.
Дербес туындыларын табайық:
Осыдан
▲
46.
функциясының толық дифференциалын табу
керек.
Шешуі.
Осыдан
▲
47.
санының жуық мәнін табу керек.
Шешуі.
функциясын қарастырайық.
, осыдан
,
осыдан
▲
Берілген функциялардың толық дифференциалдарын табу керек:
48.
Ж: 
49.
Ж:
50.
Ж: 
51.
Ж:
52.
Ж: 
53.
Ж: 
54.
Ж:
55.
Ж: 
56.
Ж: 
57.
Ж: 
58.
санын жуықтап есептеу керек;
Ж: 1,06.
59.
санын жуықтап есептеу керек; Ж:
132,51.
60.
санын есептеу керек;
Ж: 0,05.
Ескерту
деп алу керек.
61.
санын есептеу керек.
Ж: 0,82.
3. Көп айнымалылы функциялардың жоғары ретті дербес туындылары мен дифференциалдары. функциясының екінші ретті дербес туындысы деп осы функцияның дербес туындысының дербес туындысын айтады және оны былай белгілейді:
Осылай үшінші және жоғары ретті дербес туындылары табылады:
және т.с.с.
функциясы
және оның
дербес туындылары D
обылысында анықталған және үзіліссіз
болса, онда осы облыста "аралас"
туындылары тең болады:
функциясының екінші ретті дифференциалы деп осы функцияның дифференциалының дифференциалын айтады:
Осы сияқты үшінші және жоғары ретті дифференциалдары анықталады:
Егер х
және у
бір-бірінен тәуелсіз айнымалылар, ал
функциясының үзіліссіз дербес туындылары
бар болса, онда жоғары ретті дифференциалдар
формулаларымен анықталады.
62.
функциясының екінші ретті дербес
туындыларын және екінші ретті
дифференциалын табу керек.
Шешуі. Алдымен дербес туындыларын табайық:
Енді
▲
Берілген функциялардың екінші ретті дербес туындыларын табу керек:
63.
Ж: 
64.
Ж: 
65.
Ж: 
66.
Ж: 
67.
Ж: 
68.
Ж: 
69.
Ж: 
70.
Ж: 
71.
Ж:
72.
Ж: 
Берілген функциялардың екінші ретті дифференциалдарын табу керек:
73.
Ж: 
74.
Ж:
75.
Ж: 
76.
Ж: 
77.
функциясының
теңдеуін қанағаттандыратындығын
дәлелдеу керек;
78. Екі рет
дифференциалданатын кез келген
функциясының
теңдеуін қанағаттандыратындығын
дәлелдеу керек;
79.
функциясының
теңдеуін қанағаттандыратындығын
дәлелдеу керек;
80.
функциясының
теңдеуін қанағаттандыратындығын
дәлелдеу керек.
4.
Күрделі функцияны дифференциалдау.
Дифференциалданатын
функциясы берілсін, мұнда
.
z
функциясының дербес
туындылары
формулаларымен есептеледі.
Дифференциалданатын
функциясы берілсін, мұнда
.
Бұл күрделі
функциясының t
бойынша туындысы
формуласымен есептеледі.
Дифференциалданатын
функциясы берілсін, мұнда
.
Бұл
функциясының х
бойынша туындысы
формуласымен есептеледі.
81.
функциясының, мұндағы
.
Дербес туындыларын табу керек.
Шешуі.
▲
82.
функциясы берілген, мұндағы
туындысын табу керек.
Шешуі.
▲
83.
функциясы берілген, мұндағы
.
туындысын табу керек.
Шешуі.
Осыдан
.
▲
Берілген функциялардың
дербес туындыларын табу керек:
84.
функциясы берілген, мұндағы
Ж:
85.
функциясы берілген, мұндағы
Ж:
86.
функциясы берілген, мұндағы
Ж:
87.
функциясы берілген, мұндағы
Ж:
Берілген функциялардың
туындысын табу керек:
88.
функциясы берілген, мұндағы
Ж:
89.
функциясы берілген, мұндағы
Ж:
90.
функциясы берілген, мұндағы
Ж:
91.
функциясы берілген, мұндағы
Ж:
Берілген функциялардың туындысын табу керек:
92.
функциясы берілген, мұндағы
Ж:
93.
функциясы берілген, мұндағы
Ж:
94.
функциясы берілген, мұндағы
Ж:
95.
функциясы берілген, мұндағы
Ж:
5. Бағыт
бойынша туынды. Функция градиенті.
функциясының
нүктесінде
векторының бағыты
бойынша туындысы деп
шегін
айтады, мұндағы
Егер
функциясы дифференциалданатын болса,
онда бағыт бойынша туынды
формуласымен
есептелінеді, мұндағы
векторы
мен
осінің арасындағы бұрыш.
Үш
айнымалылы
функциясының бағыт бойынша туындысы
формуласымен
есептелінеді, мұндағы
векторының бағыттаушы косинустары.
функциясының нүктесіндегі градиенті деп
векторын
айтады.
Функция
градиенті мен
векторы бойынша туындысының арасындағы
байланыс
формуласымен
анықталады.
Үш айнымалылы функциясының гардиенті
векторына
тең.
96.
функциясының
нүктесіндегі: а)
б)
векторының бағыты бойынша
туындысын табу керек.
Шешуі.
,
Осыдан
▲
97.
функциясының
нүктесінде а)
б)
векторының бағыты бойынша туындысын
табу керек, мұндағы
.
Шешуі.
векторы мен бағыттаушы косинустарын
табайық.
осыдан
▲
Берілген функциялардың
нүктесіндегі а) градиентін, б)
векторының бағыты бойынша туындысын
табу керек:
98.
Ж: 
99.
Ж: 
100.
Ж:
101.
Ж: 
102.
Ж:
103.
Ж: 
6. Айқын
емес функциялардың туындысы.
теңдеуі түрінде берілген айқын емес
функциясының туындысы
формуласымен
анықталады, мұндағы
функциясы х
және у
айнымалылары бойынша дифференциалданатын,
әрі
функция.
теңдеуі түрінде берілген айқын емес
функциясының х
және у
айнымалылары бойынша дербес туындылары
формулаларымен
анықталады, мұндағы
функциясы х,
у
және z
айнымалылары бойынша дифференциалданатын,
әрі
функция.
104.
функциясы берілген.
туындысын табу керек.
Шешуі. 
Осыдан
▲
105.
функциясы берілген.
туындыларын табу керек.
Шешуі.
Осыдан
▲
Айқындалмаған
функциясының туындысын табу керек:
106.
Ж:
107.
Ж:
108.
Ж:
109.
Ж: 
110.
Ж:
111.
Ж:
Айқындалмаған
функциясының х
және у
айнымалылары бойынша дербес туындыларын
табу керек:
112.
Ж:
113.
Ж:
114.
Ж:
115.
Ж:
116.
Ж: 
117.
Ж:
