5.2 Беттік интегралдар

1. Бет ауданы бойынша беттік интегралдар (І текті беттік интегралдар). үзіліссіз функциясы болсын және формуласымен беті берілсін. Бет ауданы бойынша беттік интеграл ( не І текті беттік интеграл) деп

мұндағы - бетінің k-ші элементінің ауданы, нүктесі осы элементке тиісті, функциясы бетінің әрбір нүктесінде анықталады.

Егер бет теңдеуімен берілсе, онда І текті беттік интеграл

формуласымен есептеледі.

468. интегралын есептеу керек, мұндағы : жазықтығының І октанттағы бөлігі.

Шешуі. Жазықтық теңдеуін түрлендірейік: . Бұдан .

. бетінің Оху жазықтығына проекциясы х+у=1, x=0, y=0 түзулерімен шектелген D үшбұрышы болады (5.1 Сурет). Осы үшбұрышта х 0-ден 1-ге дейін өзгереді.

5.1 Сурет

▲

469. интегралын есептеу керек, мұндағы беті конусының және жазықтықтарының арасындағы бөлігі.

Шешуі. ,

Сонда берілген интеграл

Интегралдау облысы D: дөңгелегі болғандықтан

. ▲

470. бетінің цилиндрімен шектелген бөлігінің ауданын есептеу керек.

Шешуі. , бұдан , ал

.

: дөңгелегі болады. Полярлық координаттар жүйесіне көшсек:

,

онда

. ▲

471. интегралын есептеу керек, мұндағы беті: жазықтығының бірінші октанттағы бөлігі. Ж: .

472. интегралын есептеу керек, мұндағы беті: параболоидының жазықтығымен қиғандағы бөлігі. Ж: .

473. интегралын есептеу керек, мұндағы беті: параболоидының және жазықтықтарымен қиғандағы бөлігі.

Ж:

2. Координаттар бойынша беттік интегралдар (ІІ текті беттік интегралдар). -үзіліссіз функциялары, L сызығымен шектелген беті және бетінің әрбір нүктесінде оң бағытта бағытталған нормалі (бірлік векторы) берілсе, онда ІІ текті беттік интеграл

өрнектеледі.

Егер беті теңдеуімен айқын емес түрде берілсе, онда нормальдің бағыттаушы косинустары

формулаларымен анықталады, мұндағы таңба бетінің нормалінің бағытына байланысты анықталады.

Егер беті немесе немесе формуласымен берілсе және бетінің жазықтықтарындағы проекцияларын сәйкес деп белгілесек, онда ІІ текті беттік интеграл

формулаларымен есептеледі.

474. интегралын есептеу керек, мұндағы беті жазықтығының координат жазықтықтарымен қиғандағы бөлігі, нормаль бағыты Ох осімен сүйір бұрыш жасайды (5.2 Сурет).

5.2 Сурет

Шешуі. интегралын есептейік.

интегралын есептейік.

интегралын есептейік.

Сонымен

▲

475. интегралын есептеу керек, мұндағы беті жазықтығының координаттар жазықтығымен қиғандағы бөлігі.

Ж: 21.

476. интегралын есептеу керек, мұндағы беті эллипсоидының бірінші октанттағы бөлігі. Ж:

477. интегралын есептеу керек, мұндағы беті жазықтығының бірінші октанттағы бөлігі. Ж: