2.4. Варианты заданий лабараторной работы №1

В таблице 2.4 представлены данные по территориям региона за 20ХХ год

Таблица 2.4 - Исходные данные для лабораторной работы №1

№ предприятия	Среднедушевой прожиточный минимум в день, у.е. (Х)	Среднедневная заработная плата, у.е. (У)
1	70+2i	133
2	90-4j	148
3	80+i	134
4	90-3i	154
5	90+3i	162
6	110-5i	195
7	60+j	139
8	90-2j	158
9	80-j	152
10	87+0,5i	162
11	75-0,1j	159
12	110+0,1i	173

где i, j – две последние цифры зачетной книжки соответственно.

По данным своего варианта необходимо:

1. Построить поле корреляции.

2. Для характеристики зависимости у от х:

а) построить линейное уравнение парной регрессии у от х;

б) оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и коэффициента детерминации;

в) оценить качество линейного уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации;

г) дать оценку силы связи с помощью среднего коэффициента эластичности;

д) оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера;

е) оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

3. Рассчитать параметры показательной парной регрессии. Оценить статистическую надежность указанной модели с помощью F-критерия Фишера.

4. Обосновано выбрать лучшую модель и рассчитать по ней прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза при уровне значимости γ = 0,05.

3. Множественная регрессия и корреляция

1. Методические указания

Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими переменными:

Где у – зависимая переменная (результативный признак);

- независимые переменные (факторные признаки).

Для построения уравнения множественной регрессии и корреляции используются некоторые функции:

- Линейная - ;

- Степенная - ;

- Экспонента - ;

- гипербола - .

Для построения многофакторной модели можно использовать и другие функции, однако учитывая сложность оценки параметров множественной регрессии и еще более сложной интерпретации полученных оценок, чаще всего в практике используется линейная модель, реже степенная.

Оценка параметров уравнения регрессии производится с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений и нелинейных (приводимых к линейным), строиться система нормальных уравнений, решение которой позволяет оценить параметры уравнения регрессии:

Решение данной системы производиться методом определителей:

Где Δ – общий определить системы;

Δа, Δbp – частные определители системы.

Δа, Δb, … , Δb_р получаются путем замены соответствующего столбца матрицы общего определителя данной системы данными левой части системы.

Оценив параметры системы получаем уравнение множественной регрессии:

,

где у – зависимая переменная (результативный признак);

- независимые переменные (факторные признаки);

- коэффициенты «условно чистой» регрессии.

Коэффициенты при называются коэффициентами «условно чистой» регрессии. Они показывают среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Параметр а не подлежит экономической интерпретации.

Поскольку факторные признаки уравнения множественной регрессии имеют разные формы выражения, коэффициенты «условно чистой» регрессии не позволяют ранжировать факторы по силе влияния на результативный признак.

Поэтому в множественной корреляции и регрессии строиться другой вид уравнения – уравнение регрессии в стандартизированном масштабе.

где стандартизированные переменные; - стандартизированные коэффициенты регрессии (бетта -коэффициента).

Для оценки параметров уравнения регрессии в стандартизированном масштабе, также применим МНК. Бетта-коэффициенты оцениваются при помощи следующей системы нормальных уравнений:

Стандартизированные коэффициенты имеют связь с коэффициентами «условно чистой» регрессии

Свободный член уравнения множественной регрессии определяется по следующей формуле:

Более понятной интерпретацию многофакторной модели позволяют сделать рассчитанные коэффициенты эластичности, которые показывают в процентном выражении, как измениться в среднем результативный показатель при изменении соответствующего факторного признака на 1 % от своего среднего уровня.

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле:

Частные коэффициенты эластичности рассчитываются по следующей формуле:

_{Одним из главных этапов построения многофакторной корреляционно-регрессионной модели является оценка тесноты многофакторной связи, которая базируется на расчете матрицы парных линейных коэффициентов корреляции.}

_{Тесноту совместного влияния факторов на результативный показатель позволяет оценить множественный коэффициент корреляции (индекс множественной корреляции). Который возможно рассчитать несколькими способами:}

1. С помощью метода определителей, на основе матрицы коэффициентов корреляции путем деления определителя матрицы Δ* на общий определитель Δ:

2. На основе дисперсионного анализа:

Множественный коэффициент корреляции для уравнения регрессии в стандартизированном масштабе может быть оценен по формуле:

Множественный коэффициент корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должен быть больше или равен максимальному парному индексу корреляции

При решении проблемы отбора факторов, т.е. целесообразности включения в модель того или иного фактора используется частичные коэффициенты корреляции. Они характеризуют тесноту связи между результативным фактором и соответствующим факторным признаком, при устранении влияния других факторов включенных в уравнение регрессии.

Показатели частичной корреляции представляют собой отношение сокращения остаточной дисперсии, за счет дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в модель.

Частные коэффициенты (индексы) корреляции, позволяют измерить влияние фактора на результативный показатель у, при неизменном уровне других факторов:

Множественный коэффициент детерминации

характеризует отношение части вариации результативного признака, объясненного за счет вариации, входящей в уравнение факторов к общей вариации результативного признака за счет всех факторов.

Скорректированный коэффициент (индекс) множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле:

где n – число наблюдений

m- число факторных признаков в модели

Скорректированный коэффициент всегда ниже, чем нескорректированный. Исключение слабого фактора всегда снижает некорректируемый коэффициент детерминации, поэтому мы не можем сделать точный вывод о целесообразности исключения данного фактора из модели по R².

Для измерения тесноты связи результативного фактора с каждым из фактических признаков используются коэффициент раздельной детерминации :

Сумма коэффициентов раздельной детерминации равна множественному коэффициенту детерминации

Оценка совместимости факторов в модели, т.е насколько хорошо подобранны фактор и если смысл рассматривать множественную корреляцию и регрессию, позволяет показатель системного эффекта :

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера:

Для оценки статистической значимости присутствия каждого их факторов в уравнении рассчитывается частный F-критерий. В общем виде для фактора x_i частный F-критерий определиться как

Оценка значимости коэффициентов «условно чистой» регрессии с помощью t-критерия Стьюдента сводиться к вычислению значения

где m_bi – средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии b_i, она может быть определена как