2. Построение и анализ сетевых моделей планирования и управления

Задача 1. Построение сетевого графика.

1.1. Прежде, чем приступить к решению сформулированной задачи, рассмотрим некоторые понятия теории сетевого планирования и управления.

Аппарат сетевого планирования и управления - это совокупность моделей и методов планирования и управления выполнением комплекса работ, в основе которых лежит понятие сетевого графика или сетевой модели. Под комплексом работ понимается любая задача или проблема, для решения которой необходимо выполнить достаточно большое количество разнообразных работ. Сетевая модель представляет собой план выполнения некоторого комплекса взаимосвязанных работ, заданный в специфической форме сети, графическое изображение которой называют сетевым графиком.

Модели и методы СПУ предназначены для решения двух основных проблем:

• формирование календарного плана реализации комплекса работ;

• принятие эффективных решений в процессе выполнения этого плана.

Главными элементами сетевой модели являются события и работы. Событие - это момент достижения некоторого результата. Событие не имеет протяженности во времени. Понятие “работа” может иметь разный смысл и обозначать:

• действительную работу, требующую затрат времени и ресурсов;

• ожидание, не требующее затрат ресурсов, но занимающее определенное время;

• фиктивную работу, которая вводится для отображения логической связи между событиями, не требует затрат ресурсов и не имеет продолжительности во времени.

Для каждой работы сетевой модели должны быть определены такие работы, на результаты которых она непосредственно опирается и которые должны быть завершены к моменту начала выполнения рассматриваемой работы. На сетевом графике, т.е. графическом изображении сетевой модели, события изображаются кружками, а работы - стрелками.

Среди событий сетевой модели выделяют начальное, промежуточные и конечное. Начальное событие не имеет предшествующих работ, а конечное - последующих работ. У промежуточных событий есть и предшествующие, и последующие работы. Начало работы и ее завершение являются событиями, называемыми соответственно начальным и конечным событием данной работы. Для обозначения событий обычно используются порядковые числа: 1, 2, 3, ... ; для обозначения работ используются либо буквы - А, В, С, ... , либо пары чисел - (i, j), где i - номер начального события, j - номер конечного события для данной работы.

При построении сетевого графика следует основываться на следующих правилах:

1. В сетевом графике должно быть одно начальное и одно конечное событие.

1

4

4

1

А

С

А’

А

С

С’

0

3

6

3

В

D

В’

В

В

D

D’

5

2

2

5

а) б)

Рис. 1. Иллюстрация первого правила построения сетевых графиков.

На рис. 1 а) изображен график, не удовлетворяющий этому правилу, а на рис. 1 б) показано, каким образом его можно преобразовать, чтобы обеспечить выполнение первого правила. Для этого нужно ввести так называемые фиктивные события и работы. На рис. 1 б) они изображены пунктиром.

2. В сетевом графике не должно быть замкнутых контуров (см., например, рис. 2 а)). При возникновении такой ситуации следует еще раз изучить исходные данные и путем пересмотра состава работ и (или) логических связей между ними добиться устранения замкнутого контура в сетевом графике.

3. Любые два события в сетевом графике могут быть непосредственно связаны не более чем одной работой.

На рис. 2 б) изображен фрагмент сетевого графика, не удовлетворяющий этому правилу. Устранить такую ситуацию можно, введя новое фиктивное конечное событие для одной из работ (событие 3 на рис. 2 в)) и фиктивную работу, соединяющую новое конечное событие со старым (работа B’ на рис. 2 в)).

а) б) в)

Рис. 2. Иллюстрация второго и третьего правил построения сетевого графика

Построение сетевого графика начинается с изображения начального события, которое обводится кружком. Из начального события выпускают стрелки, соответствующие работам, которым не предшествуют какие-либо другие работы. В нашей задаче такими работами являются A, F и L. Первый этап построения сетевого графика представлен на рис. 3.

На следующем этапе построения сетевого графика изображаем работы, которым предшествуют уже построенные A, F и L, или, что то же самое, которые опираются на A, F и L. Просматривая список работ, видим, что на работу L опираются работы C и E. Поэтому завершаем работу L (конец работы по определению является событием, которое изображается кружком). Из вновь построенного события выпускаем стрелки, соответствующие работам C и E. Этот этап построения сетевого графика изображен на рис. 4.

Рис. 4. Второй этап построения сетевого графика

Далее выбираем из списка работ те, для которых построены уже все предшествующие. Это работы G и K. Обе они опираются на работы A и C. Введем событие — окончание работ A и C. Из него выпускаем стрелки, соответствующие работам G и K (рис. 5).

Рис. 5. Третий этап построения сетевого графика

Далее, на работы K и G опираются две работы — D и H. Сведем стрелки, соответствующие работам K и G, в круг, обозначающий общее для них конечное событие. Из этого события выводим стрелки, соответствующие работам D и H (рис. 6).

Теперь осталось построить одну работу из списка — это работа B. Она опирается одновременно на работы F и H. Сведем их в одно событие, из которого выведем стрелку, соответствующую работе B. На эту работу, так же, как и на работы D и E, не опирается ни одна работа. Поэтому они являются завершающими работами сетевого графика. Проведем стрелки, обозначающие эти работы, в общее для них конечное событие. Это событие будет конечным для всего графика. Два заключительных этапа построения сетевого графика изображены на рис. 7.

В полученном графике есть две работы, K и G, имеющие одни и те же начальное и конечное события. Необходимо устранить эту ситуацию. Для этого введем фиктивное событие, конечное для работы G, и фиктивную работу G₁, соединяющую введенное фиктивное и конечное для работы K события. Фиктивные событие и работу обозначим пунктирной линией. Результаты построения представлены на рис. 8.

Далее необходимо пронумеровать события сетевого графика. Очевидно, что сетевой график выглядит более естественно, если номера предшествующих событий меньше номеров последующих событий. Рассмотрим простой метод упорядочения сетевого графика, который позволяет добиться того, чтобы все последующие события имели большие номера, чем предшествующие события. Этот метод основан на понятии ранга события. Все события сетевого графика подразделяются на ранги. К одному рангу может относиться несколько событий. Нумерация событий производится в соответствии с принадлежностью к тому или иному рангу. Чем выше ранг, тем больший номер имеет событие. Внутри одного ранга нумерация событий произвольна.

Проведем упорядочение построенного сетевого графика. Начальное событие относим к нулевому рангу и перечеркиваем одной чертой все стрелки - работы, выходящие из этого события, т.е. стрелки, обозначающие работы A, F, L. К первому рангу относим те события, которые не имеют входящих неперечеркнутых стрелок - работ (см. рис. 9 а)). Таким событием будет одно - конечное для работы L. Далее, перечеркиваем двумя чертами работы - стрелки, выходящие из событий 1-го ранга, т.е. работы C и E (см. рис. 9 а)). Ко второму рангу относим те события, которые теперь не имеют входящих неперечеркнутых стрелок. Таким будет событие, конечное для работ A и C. Описанная процедура вычеркивания стрелок - работ изображена на рис. 9 а).

Продолжая описанный процесс упорядочения, который изображен на рис. 9 б), получим, что к третьему рангу относится конечное для работы G событие; к четвертому - конечное для работ K и G₁ событие; к пятому - конечное для работ F и H событие; к шестому – конечное событие сетевого графика. Упорядоченный сетевой график строительства торгового павильона изображен на рис. 10, на котором рядом с буквой, обозначающей работу, в скобках проставлено число, равное сроку ее выполнения в нормальном режиме. Фиктивной работе G₁ припишем нулевую длительность выполнения.

1.2. Одним из важнейших понятий сетевого графика является понятие пути. Путь - это любая последовательность работ, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Полный путь - это путь от начального до конечного события сетевого графика. Например, в построенном сетевом графике строительства торгового павильона последовательности работ P₁ = (L, C, G); P₂ = (A, K) образуют пути, а последовательности P₃ = (F, B); P₄ = (A, K, D) образуют полные пути. Продолжительность или длительность выполнения работ будем обозначать буквой “ t ” с индексом наименования работы. Так, t_A - длительность выполнения работы A. При расчете временных характеристик сетевого графика продолжительность выполнения работ удобнее обозначать через t_ij, где i - номер начального, а j - номер конечного события данной работы. Например, t_A  t₁₃ = 18, t_H≡ t₅₆ = 11. Сумма продолжительностей работ, составляющих путь P, выражает продолжительность или длину всего пути, и обозначается через t(P). Например,

t(P₁) = t_L + t_C + t_G  t₁₂ + t₂₃ + t₃₄ = 8 + 8 +7 = 23;

t(P₃) = t_F + t_B  t₁₆ +t₆₇ = 34 + 8 = 42.

Полный путь, имеющий наибольшую продолжительность, называется критическим путем, а длина критического пути называется критическим временем или критическим сроком сетевого графика и обозначается через T^кр. Критическое время - это наименьшее время выполнения всего комплекса работ. Сетевой график может иметь несколько различных критических путей, но все они, очевидно, должны иметь одну и ту же длину.

Критическая работа − это работа, задержка начала которой приведет к увеличению критического времени графика. Все критические работы входят в критические пути графика. Критическое событие − событие, расположенной на критическом пути.

Критические пути, вообще говоря, могут быть найдены путем перебора всех полных путей. Однако, в сетевой модели, содержащей достаточно много работ, перебор полных путей может занять слишком много времени. Существует простой алгоритм нахождения критического пути и критического времени, основанный на понятии раннего времени наступления события. Раннее время наступления i-го события (обозначается ) - это момент времени, раньше которого событие i не может наступить. Каждое событие может наступить только тогда, когда будут выполнены все работы на всех путях, ведущих от начального события графика к данному событию. Поэтому раннее время наступления i-го события равно наибольшей длине путей, ведущих от начального события к i-му событию.

Рассчитаем для всех событий сетевого графика, т.е. для i = 1, 2, ..., 7. Время наступления 1-го, начального, события сетевого графика будем считать равным нулю, т.е. . Далее последовательно находим ,..., . Так как событие 2 наступает сразу после выполнения работы L, “выходящей” из начального события, то раннее время наступления 2-го события будет равно времени выполнения работы L. Поскольку t_L = t₁₂ = 8, то = t₁₂ = 8.

Далее определяем раннее время наступления 3-го события, к которому от начального ведут два пути – {A} (первый путь) и {L, C} (второй путь). Следовательно, по определению раннего времени наступления события,

= max t_A , t_L + t_C = max t₁₃, t₁₂ + t₂₃ = max 18, 8 + 8 = 18.

Если находить исходя из определения, т.е. как наибольшую продолжительность путей, ведущих от начального события к i-му, то придется выявлять все эти пути. По мере увеличения i количество таких путей будет очень быстро возрастать и, следовательно, нахождение превратится в громоздкую и трудоемкую процедуру. Оказывается, этого можно избежать, используя найденные для k-х событий, наступивших раньше i-го события. Действительно, 3-е событие не может наступить раньше, чем:

• будет выполнена работа A,

• будет выполнена работа C, которую можно начать выполнять только после наступления 2-го события. Следовательно,

= max + t_A, + t_C = max +t₁₃, + t₂₃ = max0+18, 8+8 = 18.

Аналогично,

= + t_G = + t₃₄ = 18+7 = 25,

= max + t₃₅, + t₄₅ = max18+7, 25+0= 25,

= max + t₁₆, + t₅₆ = max0+34, 25+11= max34, 36=36.

= max +t₂₇, +t₅₇, + t₆₇=max8+32, 25+18, 36+8=max40, 43, 44=44.

Таким образом, раннее время наступления конечного события сетевого графика составляет 44 дня, т.е. раньше, чем за 44 дня, торговый павильон не может быть построен. Следовательно,

Т^кр = = 44.

Рассчитаем еще одну характеристику сетевого графика - позднее время наступления события. Позднее время наступления события i − − это предельный срок, до которого может быть отложено наступление события без задержки всего проекта. Поздние времена наступления событий вычисляются, начиная с конечного события графика. Полагаем . Далее переходим к событию 6. После свершения этого события, прежде чем произойдет конечное событие сетевого графика, необходимо выполнить работу B. На ее выполнение необходимо 8 дней. Поэтому наступление шестого события нельзя отложить позднее, чем

дней.

От события 5 ведут две стрелки к событиям 6 и 7, поздние времена для которых рассчитаны. При расчете необходимо учитывать следующие соображения: после наступления события 5 прежде, чем наступит конечное событие сетевого графика, необходимо

• выполнить работу D, для чего нужно 18 дней. Поэтому наступление 5-го события нельзя откладывать позднее, чем ;

• выполнить работу H, которую нужно закончить не позднее, чем позднее время конечного для нее события, т. е. = 36 дней. На выполнение работы H нужно 11 дней, поэтому наступление 5-го события нельзя откладывать позднее, чем .

Итак, время считаем по формуле

.

Аналогично,

,

,

,

.

Кроме временных характеристик событий у сетевого графика есть связанные с ними временные характеристики работ.

 Ранний срок  начала работы (i,j) - время, раньше которого работа (i,j) не может быть начата. Оно определяется ранним временем наступления события i:

= .

 Ранний срок  окончания работы (i,j) - время, раньше которого работа (i,j) не может быть окончена:

= + .

 Поздний срок  окончания работы (i,j) - самое позднее время, в которое нужно уложиться с выполнением работы (i,j), чтобы не увеличилось критическое время:

= .

 Поздний срок начала работы (i,j) - самый поздний срок начала работы (i,j), не влияющий на критическое время сетевого графика:

= - .

Например, для работы C:

,

= = + = 8 + 8 =16,

= = = 18,

= = - = 18 – 8 = 10.

Результаты вычисления временных характеристик работ представлены в таблице 6.

Таблица 6

	A	B	C	D	E	F	G	G1	H	K	L
tрн	0	36	8	25	8	0	18	25	25	18	0
tро	18	44	16	43	40	34	25	25	36	25	8
tпн	0	36	10	26	12	2	18	25	25	18	2
tпо	18	44	18	44	44	36	25	25	36	25	10

Алгоритм нахождения критического пути, который обозначим через P^кр, состоит в следующем. Рассмотрим формулу, из которой было найдено критическое время

Т^кр = = max +t₂₇, +t₅₇, + t₆₇= + t₆₇ = 44,

и определим работу, на которой достигается максимум в этой формуле. Очевидно, что это работа (6, 7), т.е. В. Она принадлежит критическому пути, т.е. является критической. Далее рассматриваем раннее время наступления того события, которое является начальным для работы B, т.е. рассматриваем

= max + t₁₆, + t₅₆ = 36.

Максимум достигается на работе (5, 6), т.е. на работе H. Поэтому работа H является критической.

Далее, рассмотрим раннее время наступления события 5 − начального для работы H.

= max + t₃₅, + t₄₅ = max18+7, 25+0= max 25, 25=25.

Поскольку максимум достигается на двух работах K = (3, 5) и G₁ = (4, 5), то обе эти работы являются критическими. Следовательно, у данного сетевого графика есть, по крайней мере, два критических пути.

Продолжим нахождение критических работ того пути, который содержит работу K. Так как

= max +t₁₃, + t₂₃ = +t₁₃,

то работа (1, 3) т.е. работа A, является критической. Поскольку работе A не предшествуют какие-либо работы, то нахождение первого критического пути завершено и = (A, K, H, B).

Теперь найдем критический путь, содержащий работу G₁, т.е. работу (4, 5). Так как = + t_G = + t₃₄ = 18+7 = 25,

то работа (3, 4), т.е. работа G, является критической. Поскольку

= max + t_A, + t_C = max +t₁₃, + t₂₃ = + t₂₃,

то работа (1, 3), т.е. работа A, является критической. Таким образом, найден второй критический путь, и = (A, G, G₁, H, B). На рис. 11 критические пути выделены жирными линиями. На этом рисунке каждый круг, обозначающий событие, разделен на две части. В верхней части указан номер события, а в нижней − раннее время наступления этого события.

Стоимость S строительства торгового павильона определяется как сумма стоимостей выполнения всех работ при нормальном сроке выполнения каждой. При этом считается, что стоимость фиктивной работы G₁ равна нулю.

S = 81+ 60+ 70+ 89 + 111 + 108 + 51 + 60 + 51 + 55 = 736 (млн. руб.).

Таким образом, получены следующие результаты решения задачи:

• критический срок Т^кр = 44;

• критические пути = (A, K, H, B); = (A, G, G₁, H, B);

• стоимость строительства в нормальном режиме S = 736 млнс. руб.

Задача 2.

По условию задачи необходимо сократить период строительства на 3 дня, т.е. вместо 44 дней построить павильон за 41 день, и добиться этого с минимальными дополнительными затратами. Сокращение срока строительства может быть обеспечено только путем сокращения сроков выполнения работ, принадлежащих критическому пути, а сокращение срока выполнения любой работы требует дополнительных затрат. Для разных работ дополнительные затраты на ускорение различаются. Поэтому, сокращая время выполнения тех критических работ, которые требуют наименьших дополнительных затрат, можно добиться минимального удорожания всего комплекса работ.

Будем предполагать, что затраты на ускорение выполнения каждой работы прямо пропорциональны периоду ускорения, т.е. если, например, для работы B плата за ускорение составляет 8 млн. руб., а максимальное ускорение этой работы составляет 2 дня, то каждый день сокращения приводит к дополнительным затратам в 8/2 = 4 (млн. руб.).

Аналогично, для остальных работ дополнительные затраты на один день ускорения рассчитываются по формуле

,

где δ – плата за ускорение работы, а , - ее длительность при нормальном и ускоренном режимах выполнения.

Рассчитанные по этой формуле удельные затраты на ускорение показаны в таблице 7:

Таблица 7.

Работы	A	B	C	D	E	F	G	H	K	L
Максимальное сокращение времени выполнения (дн.)	1	2	1	4	3	5	1	2	1	2
Удельные затраты на ускорение (млн. руб./дн.)	3	4	4	3	2	3	3	2	3	3

Как отмечалось выше, уменьшение периода строительства может быть достигнуто только за счет ускорения выполнения критических работ. Но ускорение критических работ может привести к тому, что на сетевом графике возникнут другие критические пути, отличные от уже выявленных путей.

Если мы не заметим появления новых критических путей, то может возникнуть ситуация, в которой сокращение продолжительности работ, лежащих на “старых” критических путях, не приведет к сокращению продолжительности выполнения всего комплекса, так как период строительства павильона будет определяться критическим временем новых критических путей. Поэтому, сокращая время выполнения критических работ, необходимо отслеживать появление новых критических путей. Если такие пути появляются, то следует так сокращать время выполнения работ, чтобы продолжительность каждого критического пути уменьшилась на одно и то же количество дней. Для сокращения срока завершения строительства на один день может потребоваться, следовательно, сокращение не одной работы, а сразу нескольких работ. Будем находить в этом случае такие работы, чтобы общие дополнительные затраты на ускорение всех работ, приводящих к уменьшению критического времени на один день, были минимальными.

При уменьшении срока выполнения всего комплекса работ с минимальным удорожанием необходимо учитывать:

• возможные сроки сокращения критических работ;

• удельные стоимости удорожания работ;

• принадлежность одной и той же работы к разным критическим путям.

Единовременно, т.е. за один шаг, сократить критический срок на требуемое количество дней, как правило, не удается, так как при таком сокращении могут появиться новые критические пути, критическое время которых окажется больше полученного нами в результате единовременного сокращения. Самый надежный способ состоит в последовательном сокращении критического времени на один день на каждом шаге. Однако применение этого способа не является обязательным, и в некоторых случаях за один шаг можно сокращать критическое время сразу на несколько дней. Выбор количества дней, на которые следует сокращать критическое время за один шаг, зависит от структуры конкретного сетевого графика.

Рассмотрим критические пути = (A, K, H, B) и = (A, G, G₁, H, B). Им принадлежат общие работы A, H и B. Среди этих работ наименьшие удельные затраты на ускорение имеет работа H. Поэтому среди общих для критических путей сетевого графика работ следует выбрать для сокращения в первую очередь работу H. Сокращение ее срока выполнения на один день повлечет увеличение ее стоимости на 2 млн. руб. Заметим, что не всегда наиболее выгодно сокращать именно общую работу критических путей. Иногда удельные затраты на ускорение общей работы могут быть столь высоки, что сокращение нескольких работ (по одной из каждого критического пути) может привести к меньшему увеличению стоимости проекта, чем сокращение этой одной работы. Однако в данном случае это замечание не применяется. Действительно, рассмотрим работы, принадлежащие разным критическим путям − K (путь ) и G, G₁ (путь ). Сокращение работы K на один день приведет к ее удорожанию на 3 млн. руб. Кроме того, для уменьшения критического времени сетевого графика необходимо сократить одну работу из пути . Это может быть только работа G, так как фиктивную работу сокращать нельзя. Сокращение работы G на один день приведет к ее удорожанию на 3 млн. руб. Итого, сокращение срока строительства на один день за счет уменьшения сроков выполнения работ K и G приведет к удорожанию проекта на 3+3=6 млн. руб. Это больше, чем при сокращении работы H. Следовательно, на первом этапе сокращения нужно выбрать работу H. Новый срок ее выполнения равен 10 дней, новая стоимость проекта равна 736 + 2 = 738 млн. руб.

Для того чтобы проверить, не появились ли новые критические пути, построим сетевой график после сокращения работы H и найдем его критические пути.

Заметим, что теперь при расчете раннего времени наступления события 7 максимум достигается как за счет работы B, так и за счет работы D. Поэтому появляются два новых критических пути − = (A, K, D) и = (A, G, G₁, D).

Для достижения заданного срока строительства в 41 день необходимо сократить критическое время еще на два дня. Продолжим пошаговое сокращение. Заметим, что для того, чтобы уменьшить критическое время сетевого графика еще на один день, теперь недостаточно сократить работу H, так как она не принадлежит путям и . Поэтому необходимо выбрать иной способ сокращения. Работа A входит во все критические пути, и удельные затраты на ее ускорение равны 3 млн. руб. Все остальные способы сокращения длительностей всех критических путей потребуют сокращения одновременно двух работ (например, K и G или H и D). Удельные затраты на ускорение при этом суммируются (например, 2 + 3=5 млн. руб., если сокращать H и D), что менее выгодно. Поэтому наименьшее удорожание проекта на данном шаге вызовет сокращение работы A. Ее новая длительность будет равна 17 дней, новая стоимость проекта равна

736 + 2 = 738 млн. руб.

Второй шаг сокращения изображен на рис. 13. Заметим, что теперь раннее время наступления события 6, равное 34 дням, определяется как работой H, так и работой F. Поэтому работа F также становится критической, и появляется новый критический путь = (F, B).

Для того чтобы сократить критическое время сетевого графика еще на один день, необходимо сократить по одной работе из всех пяти критических путей. Очевидно, что одной из сокращаемых работ должна быть либо F, либо B, так как есть критический путь = (F, B). Из этих двух работ меньшими удельными затратами на ускорение обладает работа F. Поэтому хотелось бы сократить работу F , а при сокращении оставшихся четырех критических путей , , и воспользоваться способом, применявшимся на предыдущем шаге, то есть сократить работу A. Такой способ потребовал бы затрат в размере 5 млн. руб. (3 млн. руб. за сокращение работы F и 2 млн. руб. за сокращение работы A). Однако по условию работу A можно сократить только на один день, что уже сделано. Поэтому, если выбрать для сокращения работу F из пути , то сокращение путей , , и потребует уменьшить время выполнения двух работ. С другой стороны, работа B принадлежит трем из имеющихся критических путей − , и . У путей и тоже есть общая работа D. Суммарные удельные затраты на сокращение работ B и D составят 7 млн. руб. Это − наиболее выгодный способ уменьшить критическое время сетевого графика с 42-х до 41-го дня. Итак, новое время выполнения работы B равно 7 дней, а работы D − 17 дней. На рис. 14 представлен сетевой график после третьего шага сокращения.

Стоимость выполнения проекта стала равной 741 + 7 = 748 млн. руб.

По заданию было необходимо сократить критическое время сетевого графика на три дня, то есть добиться того, чтобы оно составило 41 день. Эта цель достигнута. Суммарные затраты на ускорение составили 748 - 736 = 12 млн. руб.

Итоговый ответ решения задачи запишем в следующем виде:

Литература

1. Гранберг А.Г. Математические модели социалистической экономики. - М.: Экономика, 1978г.

2. Бахтин А.Е. Математическое моделирование в экономике. - Новосибирск: НГАЭиУ, 1995г.

3. Бахтин А.Е., Пудова М.В. Математическое моделирование в экономике - Новосибирск: НГАЭиУ, 2001г.

4. Ершов Ю.С. Экономико-математические методы анализа и прогнозирования рыночной экономики. - Новосибирск: НГАЭиУ, 1998г.

5. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики. - М.: Изд-во УРАО, 1998г.

Построение и экономико-математический анализ

моделей межотраслевого баланса.

Построение и анализ

сетевых моделей планирования и управления

Методические указания

к выполнению индивидуальных домашних заданий

Составители - Воронович Николай Васильевич, Пудова Марина Владимировна

Подписано к печати 2005г.

Объем п.л. Тираж экз.

НГУЭУ, ул. Каменская, 56.