Платёжная матрица

Предлагаемые стратегии игрока А	Стратегии игрока В
	В1	В2	Вj	…	Вn
Стратегия A1	a11	a12	a1j	…	a1m
Стратегия A2	a21	a22	a2j	…	a2m
Стратегия Ai	ai1	ai2	aij	…	aim
…	…	…	…	…
Стратегия Am	am1	am2	amj	…	amn

Нижняя и верхняя цена игры. Поставим задачу: определить наилучшую среди наших стратегий A₁, A₂ , ..., A_m. Условимся рассматривать только чистые стратегии. Затем проанализируем последовательно каждую из них от A₁ до A_m. Выбирая A_i, мы должны рассчитывать, что противник ответит на нее той из стратегий B_j, для которой наш выигрыш минимален.

Найдем минимальное из чисел а_ij в i-той строке и обозначим его _i:

Естественно, что осторожный игрок должен выбрать ту стратегию, для которой число _i максимально. Обозначим это максимальное значение :

а принимая во внимание формулу для _i, можно записать:

.

Величина  называется нижней ценой игры, максиминным выигрышем или максимином. Соответствующая стратегия называется максиминной стратегией.

Очевидно, что аналогичное рассуждение можно провести и за сторону В. Эта сторона заинтересована в том, чтобы обратить наш выигрыш в минимум, то есть максимизировать свой выигрыш. Поэтому будут выделены максимальные значения выигрыша по столбцам:

.

Затем ищут минимальное значение _j :

или .

Величина  называется верхней ценой игры, иначе – минимаксным выигрышем или минимаксом. Соответствующая выигрышу  стратегия называется его минимаксной стратегией.

Принцип осторожности, диктующий игрокам выбор соответствующих стратегий (максиминной и минимаксной), является в теории игр основным принципом и называется принципом минимакса.

1. Критерий Вальда (наибольшая осторожность) - «рассчитывай на худшее» или критерий крайнего пессимизма - называют критерий, предписывающий обеспечить значение параметра эффекта, равного α.

На основе данных платёжной матрицы определяются максиминные оценки стратегий, показывающие гарантированный максимальный выигрыш в наихудших условиях, т.е.:

Платёжная матрица дополненная столбцом ММ-критерия

Предлагаемые стратегии игрока А	Стратегии игрока В					ММ-критерий
	В1	В2	Вj	…	Вn
Стратегия A1	a11	a12	a1j	…	a1m	W1 = minj a1j
Стратегия A2	a21	a22	a2j	…	a2m	W2 = minj a2j
Стратегия Ai	ai1	ai2	aij	…	aim	Wi = minj aij
…	…	…	…	…	…	…
Стратегия Am	am1	am2	amj	…	amn	Wm = minj amj

Этот критерий ориентирует лицо, принимающее решение, на наихудшие условия и рекомендует выбрать ту стратегию, для который выигрыш максимален. В других, более благоприятных условиях использование этого критерия приводит к потере эффективности системы или операции.

Выбранная таким образом стратегия полностью исключает риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Это свойство позволяет считать ММ-критерий одним из фундаментальных.

Применение ММ-критерия оправдано, если ситуация, в которой принимается решение следующая:

• о возможности появления состояний окружающей среды ничего не известно;

• решение реализуется только один раз;

• необходимо исключить какой бы то ни было риск.

2. Критерий Сэвиджа (минимизация большого риска) «рассчитывай на лучшее».

Матрица риска

Предлагаемые стратегии игрока А	Стратегии игрока В
	В1	В2	Вj	…	Вn
Стратегия A1	r11	r12	r1j	…	r1m
Стратегия A2	r21	r22	r2j	…	r2m
Стратегия Ai	ri1	ri2	rij	…	rim
…	…	…	…	…	…
Стратегия Am	rm1	rm2	rmj	…	rmn

Значения матрицы рисков используются для определения минимаксных оценок стратегий, показывающих гарантированное минимальное значение риска в самой неблагоприятной ситуации, т.е. обеспечивается наименьшее значение максимальной величины риска:

,

где риск r_ij определяется выражением:

,

где _j – максимально возможный выигрыш игрока при стратегии противника с номером j, а а_ij выигрыш при реализации i-ой стратегии:

.

Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда – это критерий крайнего пессимизма, но только пессимизм здесь проявляется в том, что минимизируется максимальная потеря в выигрыше, по сравнению с тем, чего можно было бы достичь в данных условиях.

3. Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица - «компромисс». Этот критерий рекомендует при выборе решения в условиях неопределенности не руководствоваться ни крайним пессимизмом (всегда рассчитывай на худшее), ни оптимизмом (все будет наилучшим образом).

Рекомендуется некое среднее решение.

,

где h – некий коэффициент оптимизма, выбираемый экспертно из интервала между 0 и 1.

Использование этого коэффициента вносит дополнительный субъективизм в принятие решений с использованием критерия Гурвица.

Можно также отметить наличие других критериев для оценки степени риска принимаемых решений.

4 . Критерий Лапласа - «ориентируйся на среднее». В основе этого критерия лежит "принцип недостаточного основания": если нет достаточных оснований считать, что вероятности того или иного фактора имеют неравномерное распределение, то они принимаются одинаковыми и задача сводится к поиску варианта, дающего