Можно нанести данные из статистического ряда распределения на график. Это принято делать одним из двух способов:

Левый график называется полигоном частот (статистический аналог многоугольника распределения). Правый чаще используется в западной литературе (аналог теоретической функции вероятности).

Пример:

получена выборка 1,3,5,2,1,4,1,5,5,4,2,3,3,3,1.

объем ее равен 15: n = 15.

Вариационный ряд 1,1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,4,5,5,5

Группируем данные по повторяемости, подсчитываем частоты n _i заносим в таблицу

х i	1	2	3	4	5
n i	4	2	4	2	3

С умма всех частот должна быть равна 15 (проверьте).

Нанося данные на график, получаем полигон частот:

Подсчитываем относительные частоты w _i , заносим в таблицу, получаем статистический ряд распределения:

х i	1	2	3	4	5
w i	4/15	2/15	4/15	2/15	3/15

Сумма всех относительных частот должна быть равна 1 (основное свойство ряда распределения, проверьте)

П олигон относительных частот выглядит точно так же, как и полигон частот, меняется только масштаб на оси ординат.

Для непрерывной случайной величины Х опытные данные практически повторятся не будут, т.к. возможных значений бесконечно много. Записывается вариационный ряд.

х ₁ ≤ х ₂ ≤ х ₃ ≤ _{. . . .} ≤ х _n

Затем выполняется интервальная группировка данных:

Длина промежутка от x _min до x _max называется размахом варьирования

.

Разбиваем этот промежуток на одинаковые элементарные интервалы.

Их количество зависит от объема выборки и подсчитывается по формуле Стерджеса: .

Полученное число нужно округлить до ближайшего целого (число интервалов дробным быть не может). После этого длину каждого элементарного интервала находим по формуле:

.

При расчетах вручную, без компьютера, x можно округлять и начало первого интервала тоже брать приближенное. Границы остальных интервалов получим, добавляя шаг за шагом  x :

x ₁ = x _о+x; x ₂ = x ₁+x; x ₃ = x ₂+x и т.д.

Записываем в таблицу эти элементарные интервалы и для каждого из них частоту n _i попадания в него ( количество опытных данных, попавших в каждый интервал). Сюда же заносим относительные частоты : w _i = n _i / n = n _i / n.

(x i ;x i+1)	(x 0 ;x 1)	(x 1 ;x 2)	(x 2 ;x 3)		(x k-1 ;x k)
n i	n 1	n 2	n 3		n k
w i	w 1	w 2	w 3		w k

Это – интервальный ряд распределения.

Для непрерывной случайной величины закон распределения задается в виде плотности распределения f(x). Вероятность попадания случайной величины в любой интервал (a, b) - это площадь под графиком плотности, опирающаяся на интервал (a, b) .

Когда по данным наблюдений найдены относительные частоты w _i попадания в разные интервалы, можно и построить прямоугольники соответствующей площади. Тогда полученная фигура (гистограмма) покажет нам , какой должна быть плотность распределения .

Гистограмма относительных частот:

на каждом элементарном интервале строим прямоугольник, по площади равный относительной частоте попадания в интервал.

Высоты этих прямоугольников равны:

.

Замечание: гистограмма относительных частот дает приближенную информацию о плотности распределения. Все предположения о виде закона распределения предстоит проверять с помощью специальных процедур (см. статистическая проверка гипотез).

Чем больше опытов проводится, тем ближе построенная гистограмма к теоретической плотности распределения.

Итак, мы уже выяснили, как по данным наблюдений получить представление о ряде распределения и о плотности распределения. Осталось разобраться с функцией распределения.

Для любой случайной величины универсальным способом задания закона распределения является функция распределения F(x). По определению, функция распределения - это вероятность попадания случайной величины в область, лежащую слева от аргумента x : F(x) = P(X<x).

Из эксперимента мы можем найти относительную частоту попадания в область, лежащую слева от аргумента, и это будет эмпирическая или статистическая функция распределения :

О2 : Статистическая (эмпирическая) функция – это функция, которая для каждого значения аргумента равна относительной частоте попадания опытных данных в область, лежащую слева от аргумента.

F*(x) = W(X<x).

Если построить график статистической функции распределения F*(x), то это будет изображенная справа ступенчатая фигура, которая позволяет получить представление о характере теоретической функции распределения F(x).

Технология построения статистической функции распределения F*(x) такая же, как и для теоретической функции распределения для дискретных случайных величин: суммируются относительные частоты для всех опытных значений, лежащих слева от аргумента (как раньше суммировались вероятности).

Замечание: Так как с увеличением числа опытов относительные частоты приближаются к вероятностям, делаем вывод, что с увеличением количества наблюдений ступенчатая статистическая функция распределения приближается к теоретической функции распределения.

Пример:

задана выборка 2,7,2,5,9,5,2,7,5,5.

построить статистическую функцию распределения.

объем выборки равен 10 : n = 10.

Вариационный ряд 2,2,2,5,5,5,5,7,7,9.

Группируем данные по повторяемости, подсчитываем частоты n _i заносим в таблицу

х i	2	5	7	9
n i	3	4	2	1

Подсчитываем относительные частоты w _i , заносим в таблицу, получаем статистический ряд распределения:

получаем х i	2	5	7	9
w i	0.3	0.4	0.2	0.1

Для наглядности изобразим данные наблюдений на числовой оси.

Возьмем любое значение x, меньшее 2. Слева от такого x не наблюдалось ни одного опытного значения. Частота и относительная частота попадания в эту область равна нулю. При x = 2 она тоже равна нулю:

x  2: F^*(x) = 0.

Для любого 2 < x  5: слева от такого x 3 раза наблюдалось значение 2, т.е., относительная частота попадания в эту область равна 0,3.

2 < x  5: F^*(x) = 0,3.

Дальше аналогично:

5 < x  7: F^*(x) = 0,7.

7 < x  9: F^*(x) = 0,9.

9 < x < : F^*(x) = 1,0.

Таким образом, получаем следующий график:

Е сли опытные данные не повторяются (непрерывная случайная величина), то частота каждого из них равна 1, а относительная частота w _i=1/n. При построении F*(x) при переходе через очередное опытное значение F*(x) увеличивается на 1/n.

Замечание: Если объем выборки n возрастает, то относительная частота w _i приближается к вероятности p _i и статистическая функция распределения F^*(x) приближается к теоретической функции распределения F (x).