Определение:
Дисперсией
случайной величины называют
Математическое ожидание квадрата центрированнной случайной величины
Если подсчитывать дисперсию по определению, то нужно усреднять квадраты отклонений:
Для расчетов и анализа удобна другая формула для подсчета дисперсии:
Читается эта формула следующим образом: дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат её математического ожидания.
Пример : Задан ряд распределения для дискретной случайной величины
x i |
2 |
3 |
7 |
p i |
0,2 |
0,7 |
0,1 |
Подсчитаем дисперсию по определению и по вспомогательной формуле.
В любом случае сначала нужноподсчитать математическое ожидание:
Подсчитываем дисперсию по определению:
По
вспомогательной формуле:
Результат, естественно, получился одинаковый. Но вычисления по вспомогательной формуле выполнять проще.
2. Среднеквадратическое отклонение [X]
Пример : Вернемся к примеру с анализом доходности двух фирм.
А |
B |
190 тыс. |
350 тыс. |
210 тыс. |
70 тыс. |
180 тыс. |
330 тыс. |
220 тыс. |
50 тыс. |
X – доходы первой фирмы (грн.)
Y – доходы второй фирмы (грн.)
Средняя доходность – математическое ожидание:
M[X] = 200 000 (грн.)
M[Y] = 200 000 (грн.)
Число, характеризующее разброс данных – это дисперсия:
D[X] = 250 000 000 (грн.2)
D[Y] = 19 700 000 000 (грн.2)
Дисперсия намного больше для второй фирмы. Но обратите внимание на размерность этой величины. Разброс ее измеряется в гривнах квадратных.
Если Вы будете анализировать текучесть рабочей силы на предприятии, то разброс данных будет измеряться в человеках квадратных.
Не удивительно, так как дисперсия – среднее значение квадратов.
Ч
Определение: Среднеквадратическим (стандартным) отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии
Пример
:
Стандартное
отклонение, характеризующее разброс
доходности фирм, уже имеет ту же
размерность, что и сама исследуемая
величина:
[X]
= 15,81 ( тыс.грн.)
[Y]
= 140,04 ( тыс.грн.)