Раздел II. Теория случайных величин

§2.1. Случайные величины. Связь случайных величин и случайных событий

В первом разделе мы рассматривали случайные события, которые могут появляться или не появляться при одних и тех же условиях опыта. Теперь мы будем рассматривать другую сторону случайности, будем рассматривать величины (т.е., числа), которые носят случайный характер.

Определение: Величина Х называется случайной, если при одних и тех же условиях опыта она может принимать различные значения.

Примеры:

1. Опыт – бросание кубика.

Случайная величина Х – выпавшее число очков.

Возможные значения {1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

2. Опыт – трехкратное бросание монеты.

Случайная величина Х –число выпавших гербов .

Возможные значения { 0, 1, 2, 3 }.

3. Опыт – лекция по теории вероятностей.

Случайная величина Х – число присутствующих студентов.

Возможные значения { 0, 1, 2, …, N }.

4. Опыт – работа банковского служащего в течение часа.

Случайная величина Х – число обслуженных клиентов.

Возможные значения { 0, 1, 2, …, N }.

5. Опыт – работа торгового предприятия в течение суток.

Случайная величина Х – суточная выручка.

Возможные значения { любое X > 0}.

6. Опыт – работа фирмы в течение месяца.

Случайная величина Х – прибыль.

Возможные значения { любое X , в том числе и отрицательное (убытки)}.

7. Опыт – создание новой фирмы.

Случайная величина Х – время, которое она просуществует, от создания до ликвидации.

Возможные значения { 0 < X <  }.

Замечание 1: обнаружить, что величина случайная, можно только при многократном повторении опыта.

Обратите внимание на возможные значения случайных величин в приведен-ных выше примерах. В первых четырех примерах это только целые числа. В при-мерах 5 – 7 возможные значения могут быть любыми. В зависимости от того, какими могут быть возможные значения, выделяют два типа случайных величин:

Определение: Дискретные случайные величины – возможные значения отделены друг от друга и их можно перечислить (количество их конечно или бесконечно, т.Е. Количество счетно).

Определение: Непрерывные случайные величины – возможные значения непрерывным образом заполняют некоторый интервал, количество их бесконечно.

Замечание 2: Как обычно в математике, числа (величины) изображаются точками на числовой оси. При работе со случайными величинами мы будем поступать так же. Поместим на числовую ось все возможные значения случайной величины X.

У дискретной случайной величины это отдельно стоящие точки: у непрерывной случайной величины это точки некоторого интервала:

Связь случайных величин и случайных событий.

Понятие вероятности определено только для случайных событий. Чтобы можно было применить весь аппарат подсчета вероятностей для анализа случайных величин, рассмотрим, какие события могут происходить со случайной величиной.

( X = 5 ) : случайная величина принимает в опыте значение 5;

У случайной величины X несколько возможных значений, которые она может принимать. Она может принять в данном опыте значение 5, а может принять и какое-либо другое из своих возможных значений. Т.е., событие ( X = 5 ) – случайное. Оно может как произойти, так и не произойти.

( X > 7 ) : случайная величина принимает в опыте значение, большее 7;

( 1 < X < 3 ) : случайная величина попадает в заданный интервал.