3. Составление системы канонических уравнений
Число канонических уравнений равно числу введенных связей в заданной системе, каждое из которых имеет смысл уравнения равновесия, отражающих отсутствие реакции во вновь введенной связи в основной системе, так как в заданной системе этой связи не существует.
На основании принципа суперпозиции, из основной системы выделяются грузовое состояние (ГС) и единичные состояния (ЕС). В каждом состоянии от соответствующих воздействий во вновь введенных связях возникают реакции, которые являются коэффициентами канонических уравнений.
Если деформация заданной системы зависит от одного перемещения: углового или линейного (рис. 5 , 6), то каноническое уравнение имеет вид
R1 = r11 Z1 + R1p = 0. (2)
Это условие эквивалентности заданной и основной систем называется каноническим уравнением потому, что его вид одинаков для любой один раз кинематически неопределимой системы.
Для задачи на рис. 5 - Z1 - угол поворота фиктивной заделки, r11 - момент фиктивной заделки в единичном состоянии, где воздействием является единичный угол поворота; R1p - момент фиктивной заделки в грузовом состоянии от внешней нагрузки. Если единичный угол поворота увеличить в Z1 раз, то момент заделки r11 увеличивается тоже в Z1 раз. Необходимо подобрать величину угла поворота Z1 так, чтобы суммарная реакция от нагрузки R1p и r11 Z1 в основном состоянии была равна нулю (R1=0), так как в действительности в заданной системе фиктивной заделки не существует.
Для задачи на рис. 6 - Z1 – неизвестное линейное перемещение введенной горизонтальной опоры, r11 – ее реакция в единичном состоянии, где воздействием является единичное горизонтальное смещение опоры; R1p – реакция во введенной опоре от внешней нагрузки.
Если деформированное состояние заданной системы описывается двумя неизвестными перемещениями (для задачи на рис. 7), то составляется два уравнения равновесия.
R1 = r11 Z1 + r12 Z2 + R1p = 0, (3)
R2 = r21 Z1 + r22 Z2 + R2p = 0.
Для трех неизвестных канонические уравнения имеют вид (рис. 2)
В общем случае
– реакции в i
– ой связи
в j
– ом –
единичном состоянии;
- реакции
в i
– ой связи
в грузовом состоянии.
Рис. 2
В единичных состояниях воздействиями являются единичные перемещения введенных связей. В первом и втором единичных состояниях – это поворот фиктивной заделки на единичный угол, в третьем – единичное смещение горизонтальной опоры
4. Определение коэффициентов канонических уравнений
Для определения коэффициентов строятся эпюры в грузовом и единичном состояниях. При построении используются готовые решения из таблицы 1, которые переносятся так, чтобы эпюра моментов оказалась со стороны растянутых волокон. Для выявления растянутых волокон оси балок в деформированном состоянии изображаются пунктиром.
Коэффициенты являются реакциями во вновь введенных связях. Их положительные значения указываются в основной системе. Неизвестный момент фиктивной заделки определяется из уравнения равновесия узла, содержащего ее. Коэффициенты, являющиеся усилиями во введенных опорных связях, определяются из уравнения проекций всех сил на ось, параллельную этой связи для всей конструкции или для кругового сечения, которое пересекает эту связь.