Контрольные задания
1.1 а)
Показать, что если
и
- связные подмножества пространства
и
,
то
- связно.
б) Являются
ли множества
связными в естественной топологии,
топологиях Зарисского, Зоргенфрея,
дискретной, антидискретной и топологии
стрелки,
1.2 а) Показать, что компонента пространства замкнута в .
б) Являются ли
множества
связными в естественной топологии,
топологиях Зарисского, Зоргенфрея,
дискретной, антидискретной и топологии
стрелки,
1.3 а) Показать, что любые две компоненты пространства или совпадают, или не пересекаются.
б)
Являются ли множества
связными в естественной топологии,
топологиях Зарисского, Зоргенфрея,
дискретной, антидискретной и топологии
стрелки,
1.4 а) Показать, что множество всех компонент пространства его покрывают.
б)
Являются ли множества
связными в естественной топологии,
топологиях Зарисского, Зоргенфрея,
дискретной, антидискретной и топологии
стрелки,
1.5 а)
Доказать, что отрезок
связен.
б)
Являются ли множества
связными в естественной топологии,
топологиях Зарисского, Зоргенфрея,
дискретной, антидискретной и топологии
стрелки,
1.6 а)
Показать, что множества
и
в естественной топологии на
не гомеоморфны.
б)
Являются ли множества
связными в естественной топологии,
топологиях Зарисского, Зоргенфрея,
дискретной, антидискретной и топологии
стрелки,
1.7
а) Показать, что множества
и
в естественной топологии на
не гомеоморфны.
б)
Являются ли множества
связными в естественной топологии,
топологиях Зарисского, Зоргенфрея,
дискретной, антидискретной и топологии
стрелки,
1.8 а)
Показать, что множества
и
в естественной топологии на
не гомеоморфны.
б)
Являются ли множества
связными в естественной топологии,
топологиях Зарисского, Зоргенфрея,
дискретной, антидискретной и топологии
стрелки,
1.9 а) Доказать, что множество является вполне несвязным в естественной топологии на .
б)
Являются ли множества
связными в естественной топологии,
топологиях Зарисского, Зоргенфрея,
дискретной, антидискретной и топологии
стрелки,
1.10 а) Доказать, что множество является вполне несвязным в топологии Зоргенфрея на .
б)
Являются ли множества
связными в естественной топологии,
топологиях Зарисского, Зоргенфрея,
дискретной, антидискретной и топологии
стрелки,
1.11 а)
Доказать, что множество
является вполне несвязным в естественной
топологии на
.
б)
Являются ли множества
связными в естественной топологии,
топологиях Зарисского, Зоргенфрея,
дискретной, антидискретной и топологии
стрелки,
1.12 а) Доказать, что множество является вполне несвязным в топологии Зоргенфрея на .
б)
Являются ли множества
связными в естественной топологии,
топологиях Зарисского, Зоргенфрея,
дискретной, антидискретной и топологии
стрелки,
1.13 а)
Доказать, что пространство
линейно
связно.
б)
Являются ли множества
связными в естественной топологии,
топологиях Зарисского, Зоргенфрея,
дискретной, антидискретной и топологии
стрелки,
1.14 а)
Доказать, что если
-
собственное непустое подмножество
связного топологического пространства,
то
Æ.
б)
Являются ли множества
связными в естественной топологии,
топологиях Зарисского, Зоргенфрея,
дискретной, антидискретной и топологии
стрелки,
1.15 а)
Пусть
- связное множество пространства
.
Доказать связность
.
б)
Являются ли множества
связными в естественной топологии,
топологиях Зарисского, Зоргенфрея,
дискретной, антидискретной и топологии
стрелки,
2.1 а) Доказать, что компактное подмножество метрического пространства ограничено.
б) Являются ли множества из задания 1)б компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.2 а) Доказать, что замкнутое подмножество компактного пространства компактно.
б) Являются ли множества из задания 1)б компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
а) Доказать, что компактное подмножество метрического пространства ограничено.
б) Являются ли множества из задания 1)б компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
а) Доказать, что компактное хаусдорфово пространство регулярно.
б) Являются ли множества из задания 1)б компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.5 а) Показать, что метрическое пространство является компактным тогда и только тогда, когда из всякой последовательности его точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
б) Являются ли множества из задания 1)б компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.6 а) Показать, что замкнутое подпространство компактного пространства компактно.
б) Являются ли множества из задания 1)б компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.7 а) Показать,
что метрическое пространство
является компактным тогда и только
тогда, когда всякая его убывающая
последовательность непустых замкнутых
множеств имеет непустое пересечение.
б) Являются ли множества из задания 1)б компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.8 а) Показать, что любое компактное хаусдорфово пространство нормально.
б) Являются ли множества из задания 1)б компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.9 а) Пусть
(
с индуцированной из
топологией) и
.
Показать, что
не компактно.
б) Являются ли множества из задания 1)б компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.10 а) Показать, что любое метризуемое компактное пространство сепарабельно.
б) Доказать, что множество всех неподвижных точек непрерывного отображения Хаусдорфова пространства в себя является замкнутым.
2.11 а) Пусть множества и компактны. Показать, что компактно и множество .
б) Являются ли множества из задания 1)б компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.12 а) Доказать, что прямая не компактна.
б) Являются ли множества из задания 1)б компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.13 а) Показать, что непрерывный образ компактного пространства компактен.
б) Являются ли множества из задания 1)б компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.14 а) Сохраняется ли при непрерывном отображении нормальность топологических пространств.
б) Являются ли множества из задания 1)б компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.
2.15 а)
Сохраняется ли при непрерывном отображении
нормальность, если
- непрерывное сюръективное отображение,
переводящее каждое замкну-тое множество
в замкнутое.
б) Являются ли множества из задания 1)б компактными в естественной топологии, топологиях Зарисского, Зоргенфрея, дискретной, антидискретной и топологии стрелки.