Лабораторная работа 7. Произведение топологических пространств. Фактор – пространство. Основные понятия и определения.
Прямым
произведением (декартовым
произведением
или просто произведением)
множеств
и
называется множество
всех
упорядоченных пар
с
и
.
Если
и
,
то
.
Множества
и
c
и
называются
слоями
произведения
.
Отображения
произведения
на
и
,
определяемые формулами
и
обозначаются через
и
и называются
проекциями.
Пусть
и
–
топологические пространства. Множество
вида
назовем
элементарным,
если
-
открыто в Х и V
– открыто в
.
Произведением пространств и называется множество с топологией, базой которой служит совокупность элементарных множеств.
Всякому
отображению
,
где
-
некоторые множества, соответствуют
(так называемые координатные)
отображения
и
.
Если
имеются отображения
и
,
то возникает отображение
,
определяемое
формулой
.
Это отображение называется произведением
отображений
и
и обозначается
.
Будем говорить, что топологическое свойство сохраняется при перемножении, если из того, что сомножители обладают этим свойством, следует, что произведение тоже им обладает.
Пространство
называется
тором.
Произведение
(
сомножителей) называется
-
мерным тором.
Подмножество
топологического пространства
называется связным
в
,
если оно является связным топологическим
подпространством с индуцированной
топологией пространства
.
Разбиением множества называется его покрытие попарно непересекающимися множествами; разбить множество – значит построить его разбиение.
Компонентой связности пространства называется всякое его связное подмножество, не содержащееся ни в каком (строго) большем связном подмножестве пространства .
Пусть
-
топологическое пространство,
.
Наибольшее связное подмножество,
содержащее точку
называется компонентой
связности пространства
,
определенной точкой
.
Компоненты связности пространства называются также связными компонентами или просто компонентами.
Топологическое пространство называется вполне несвязным, если любая его компонента состоит из одной точки.
Путем
в топологическом пространстве
называется непрерывное отображение
отрезка
в
.
Началом
пути
называется
точка
,
концом
- точка
.
Говорят в этом случае, что путь соединяет
с
.
Постоянное
отображение
называется постоянным
путем и
обозначается
,
где
.
Если
-
путь, то обратным
ему путем
называется путь
,
определяемый формулой
.
Хотя обозначение
,
строго говоря, уже занято (обратным
отображением), к недоразумениям эта
двусмысленность не приводит, поскольку,
когда речь идет о путях, обратные
отображения, как правило, не рассматриваются.
Линейно связным множеством называют множество, любые две точки которого можно соединить непрерывной кривой.
Компонентой линейной связности топологического пространства называется любое его линейно связное подмножество, не содержащееся ни в каком строго большем линейно связном множестве.
Подмножество евклидова пространства называется связным посредством ломаных, если любые две точки из можно в соединить конечнозвенной ломаной.