3. Метод штучної бази.

Застосовується у тих випадках, коли в вихідній задачі ЛП, яка записана у канонічному вигляді, в системі обмежень немає необхідної кількості одиничних ортогональних незалежних векторів P_j, тобто важко вказати початковий опорний план.

М-метод полягає у використанні правил симплекс – методу до так званої задачі ЛП. Вона отримується із початкової додованням до лівої частини системи рівнянь таких штучних одиничних векторів з відповідними невід’ємними штучними змінними, щоб знову отримати m одиничних ортогональних лінійно незалежних векторів.

У цільовій функції задачі ЛП штучні змінні мають коефіцієнт - М (f(x)→max) або +М (f(x)→min), де під М ми розуміємо досить велике додатне число.

При розв’язанні цієї задачі симплекс-методом оцінки Δ_j будуть залежити від М. Для порівняння оцінок, треба пам’ятати, що М – достатньо велике додатне число, тому із базису будуть виключатися у першу чергу штучні вектори.

Якщо із базису всі штучні вектори вийшли, то ми отримали вихідну задачу.

Якщо оптимальний розв’язок М – задачі містить штучні змінні або М – задача нерозв’язна, то початкова задача також нерозв’язна.

1. Транспортна задача.

Транспортна задача одна з найпоширеніших задач лінійного програмування. Її мета – розробка найбільш раціональних шляхів і способів транспортування однорідної продукції від постачальників до споживачів.

У загальному вигляді транспортну задачу можна сформулювати так: в m пунктах постачання А₁,А₂,…… A_m (надалі постачальники) міститься однорідна продукція у кількості відповідно а₁, а₂,….. а_m. Цю продукцію потрібно перевезти в n пункти призначення B₁,B₂,…… B_n (надалі споживачі) у кількості відповідно b₁, b₂,….. b_n. Вартість перевезення одиниці товару (тариф) із пункту А_i в пункт B_j дорівнює с_ji.

Математична модель транспортної задачі має такий вигляд:

F(x_ji)= ∑∑ x_ji с_ji→ min (4)

за умов

∑x_ji =a_i (i=1,2…..m) (5)

∑x_ji =b_j (j=1,2…..n) (6)

x_ji≥0 (i=1,2…..m; j=1,2…..n) (7)

Алгоритм і методи розв’язання транспортної задачі можна використати для знаходження розв’язку деяких економічних задач, які не мають нічого спільного з транспортуванням вантажів. У цьому разі величини тарифів перевезення с_ji мають різний зміст залежно від конкретної задачі. До таких задач належать наступні:

• Оптимальне закріплення за верстатами операцій з обробки деталей. У них с_ji означає продуктивність праці.

• Розміщення сільськогосподарських культур за ділянками землі різної врожайності.

• Оптимальні призначення або проблема вибору.

• Задача про скорочення виробництва із врахуванням загальних витрат на виготовлення і транспортування продукції

• Збільшення продуктивності автомобільного транспорту за рахунок мінімізації порожнього пробігу

Основні теореми транспортної задачі.

Означення 1. Якщо у транспортної задачі виконується умова балансу

∑b_j = ∑a_i (8)

То задача називається закритою або збалансованою.

Означення 2. Планом транспортної задачі називається сукупність величин x_ji (i=1,2…..m; j=1,2…..n), який задовольняє умови обмеження (5) – (7).

Означення 3. Опорний план транспортної задачі називається не виродженим, якщо він містить N=m+n-1 додатних елементів x_ji

Означення 4. Якщо опорний план містить менше N<m+n-1 додатних елементів, то він називається виродженим.

Означення 5. Оптимальним планом транспортної задачі називають матрицю Х^* , яка задовольняє умови задачі (5) – (7) і для якої цільова функція F набуває мінімального значення.

Теорема 1. (Необхідна і достатня умова існування розв’язку задачі ТЗ).

Транспортна задача має розв’язок тоді і тільки тоді, коли вона збалансована, тобто виконується умова (8).

Теорема 2. Для того щоб деякий план Х транспортної задачі був оптимальним необхідно і достатньо, щоб йому відповідала така система із m+n чисел u_i (i=1,2…..m) v_j ( j=1,2…..n) для якої виконуються умови

v_j - u_i = с_ji для x_ji>0

v_j - u_i ≤ с_ji для x_ji=0.

Означення 6. Числа v_j та u_i називаються потенціалами строк та стовпців.