27

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Харківський інститут фінансів

Українського державного університету фінансів

та міжнародної торгівлі

Кафедра економіко-математичних методів та інформаційних технологій

Опорний конспект лекцій

з дисципліни

«Оптимізаційні методи та моделі»

для студентів заочної форми навчання

освітньо-кваліфікаційний рівень – бакалавр

галузь знань – 0305 «Економіка та підприємництво»

напрям підготовки – 6.030509 «Облік і аудит»

Укладач Кузніченко В.М., доцент кафедри, к.ф.-м.н.

Розглянуто та ухвалено на засіданні кафедри

Протокол від ______2012 №___

Харків

2012

ЗМІСТ Стор.

Лекція 1. Задачі лінійного програмування.	3
Лекція 2. Задачі нелінійного програмування.	12

Тема 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки.

Тема 2. Оптимізаційні економіко-математичні моделі.

Тема 3. Задача лінійного програмування та методи її розв’язування.

Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач.

Лекція 1

Тема лекції: Задачі лінійного програмування.

Мета: ознайомити студентів з методами розв’язання задач ЛП: графічно, симплекс – методом, методом штучної базиси, методом потенціалів.

План лекції

1. Графічний метод розв’язання задач МП.

2. Симплексний метод розв’язання задач ЛП.

3. Метод штучної бази.

4. Транспортна задача.

Література:

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1993. – 336 с.

2. Іванюта І.Д. Практикум з математичного програмування: Навчальний посібник/ І.Д. Іванюта, В.І. Рибалка, І.А. Рудоміра – Дусятська. – К. : «Слово», 2008. – 296 с.

3. Кучма М.І. Математичне програмування: приклади і задачі: Навчальний посібник/ М.І. Кучма. - Львів: «Новий Світ - 2000», 2006. – 344 с.

4. А. Черемис, Р. Юринець, О. Мищишин. Методи оптимізації в економіці. Навчальний посібник. – К.: Центр навчальної літератури, 2006. – 152 с.

1. Графічний метод розв’язання задач лп.

Означення 1. Загальною формою задачі ЛП є задача на знаходження екстремуму (мінімуму чи максимуму) лінійної цільової функції f при лінійній системі обмежень g_i, що включає як рівності, так і нерівності з обох боків при невідомих змінних, з яких одні пов’язані умовою невід’ємності, другі – умовою недодатності, а на знак третіх ніяких умов не накладено, тобто задача має таких вигляд:

f(x)= c₁x₁ + c₂x₂ + …. + c_nx_n →extr (max/min) (1)

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ….. +a_1nx_n{ ≤ = ≥ }b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₃₃x₃ + …..+ a_2nx_n{ ≤ = ≥ }b₂

a_k1x₁ + a_k2x₂ + a_k3x₃ + …….+ a_knx_n{ ≤ = ≥ }b_k (2)

a_m.1x₁ + a_m.2x₂ + a_m.3x₃ + a_m.nx_n { ≤ = ≥ } b_m

x_i≥0 i= 1,m (3)

Отже, загальна задача ЛП є формою із змішаною системою обмежень .

Означення 2. Задача ЛП має канонічний вигляд, якщо в загальній формі задачі ЛП присутні тільки обмеження (2) у вигляді рівнянь та (3).

Означення 3. Задача ЛП має стандартний вигляд, якщо в загальній формі задачі ЛП присутні тільки обмеження (2) у вигляді нерівностей ≤ та (2.3), коли шукається max цільвої функції f, або в загальній формі задачі ЛП присутні тільки обмеження (2) у вигляді ≥ та (3), коли шукається min цільвої функції f.

Загальна задача ЛП геометрично інтерпретується так: кожне k – те обмеження – рівність

a_k1x₁ + a_k2x₂ + a_k3x₃ + …….+ a_knx_n= b_k (k=1,….m)

задає в n – вимірному просторі основних змінних х₁,х₂,х₃…..х_к, ....... х_n гіперплощину, а кожне k – те обмеження – нерівність

a_k1x₁ + a_k2x₂ + a_k3x₃ + …….+ a_knx_n ≤ b_k (k=1,….m), визначає деяку ггіперплощину та півпростір n – вимірного простору, що лежить на один бік від цієї гіперплощини. За умоми сумітності системи нерівностей (2) та (3), перетин усіх цих півпросторів як опуклих множин, утворює опуклий многогранник допустимих розв’язків. Кожна вершина цього многогранника розв’язків визначає опрний план.

Розглянемо геометричну інтерпритацію задачі ЛП для випадку n=2.

Задача 1. Розв’язати задачу ЛП графічно.

2х₁ + 3х₂≤12

2х₁ - х₂≤4

х₁,х₂≥0

а) z =3х₁ + х₂→max

b) z =х₁ + 5х₂→max

c) z =4х₁ + 6х₂→max

Алгоритм розв’язку задачі ЛП графічним методом

1. Побудова многогранника розв’язків.

Визначаємо область допустимих розв’язків (перетин півплощін, що відповідають, обмеженням задачі). Згідно з обмеженнями (3) многокутник розв’язків міститься у першому квадранті. Область допустимих розв’язків (ОДР) може бути поржньою множиною, опуклим многокутником або необмеженою многокутною опуклою областю.

У першому випадку задача ЛП не має розв’язків.

В другому – завжди існує точка (або точки), в яких цільова функція (1) набуває максимального або мінімального значення.

У третьому – лінійна функція (1) на ОДР може не досягти екстремуму.

Надалі, нехай ОДР не є порожньою множиною.

2. Будуємо вектор нормалі N=(c₁,c₂). Вектор нормалі вказує на напрямок зростання цільової функції (1).

3. Проводимо перпендикулярно до вектора нормалі N=(c₁,c₂) лінію рівня.

4. Визначення оптимальних крапок.

Для знаходження крапки максимуму цільової функції зміщуємо лінію рівня паралельно самій собі у напрямку вектора нормалі N доти, доки пряма не стане опорною до множини ОДР.

5. Обчислення оптимальних значень.

Для цього знаходимо координати вершин, в яких досягається максимум (мінімум) цільової функції (1) та обчислюємо ці значення.

У загальному вигляді задача МП з двома змінними формулюється таким чином:

Z=f(x₁, x₂) →max/min (4)

За умов

g_k(x₁,x₂)≤ b_k к=1,2,......m (5)

x₁,x₂≥0 (6)

де f та g_k можуть бути лінійними або нелінійними.

При розв’язанні задачі (4) – (6) графічним методом важливим є поняття лінії рівня цільової функції.

Лінія рівня цільової функції називається така множина значень іі змінних, при яких функція набуває сталого значення f(x₁, x₂)=c:

• для лінійної функції f(x₁, x₂)=c=const – паралельні прямі;

• для квадратичної функції f(x₁, x₂)=(х₁)² +(х₂)² = c =const – концентричні кола різних радіусів r=(c)^1/2;

• для f(x₁, x₂)=a(х₁)² +b(х₂)² = c =const – концентричні еліпси.