Значащие и верные цифры

Первая слева, отличная от нуля и все расположенные справа за ней цифры в десятичном изображении числа называются значащими.

Пример: 127,56 – 5 значащих цифр

0,028 – 2 значащих цифры

0,3050 – 4 значащих цифры

Значащая цифра в записи числа называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает пяти единиц разряда, следующего за этой цифрой.

Пример: у числа 0,230245 значащих цифр

0 ,23024 0,0001 (0,00005 < Δ = 0,0001 < 0,0005) - 3 верных цифры

0,23024 0,0006 (0,0005 < Δ = 0,0006 < 0,005) - 2 верные цифры

Округление чисел

Округление числа a – это замена его числом a₁ с меньшим количеством значащих цифр.

Число a₁ выбирают так, чтобы ошибка округления была минимальной

│ a₁ - a│= min.

Правило округления: если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньшая 5, то содержимое сохраняемых разрядов не изменяется. В противном случае, в младшем сохраняемом разряде добавляется единица.

Тема 2 Аппроксимация и интерполирование функций

Задача аппроксимации (приближения) функции состоит в следующем: данную функцию f(x) приближенно заменить функцией F(x) так, чтобы отклонение F(x) от f(x) в заданной области было наименьшим.

F(x) -аппроксимирующая функция.

Задача аппроксимации решается в случаях, когда неизвестна явная связь между функцией и ее аргументом (при табличной форме задания функции) или известная функция f(x) очень сложна.

Приближения функции можно строить как на непрерывном множестве точек x области определения, так и дискретном множестве точек x_i.

В первом случае – аппроксимация непрерывная, во втором – дискретная. Наиболее часто при аппроксимации рассматривают абсолютное и среднеквадратичное отклонение.

Абсолютное отклонение

(2.1)

С реднеквадратичное отклонение

(2.2)

Интерполяция

Пусть на отрезке задана сетка с узлами интерполяции x₀, x₁,..., x_n.

В узлах сетки заданы значения функции y₀=f(x₀), y₁=f(x₁),..., y_n=f(x_n) т.е. заданы точки с координатами (x_i ,y_i), i=0, 1,...,n.

Задача интерполирования заключается в построении многочлена (полинома) F_m (x) степени m, который в узлах интерполяции принимает те же значения, что и заданная функция f(x).

Если многочлен строится на части узлов, то такая интерполяция называется локальной, если на всех узлах – то это глобальная интерполяция.

Если значение х выходит за пределы отрезка интерполирования, то задача отыскания значения функции в этой точке называется задачей экстраполирования.

Линейная и квадратичная интерполяция

При линейной интерполяции точки с координатами (x_i ,y_i) соединяются отрезками прямой, т.е. функция f(x) заменяется ломаной.

На отрезке имеется n интервалов (x_i-1 ,x_i). Для каждого можно написать уравнение прямой в виде

, .

^{Коэффициенты и можно определить из условия прохождения} прямой через точки (x_i-1 ,y_i-1) , (x_i ,y_i), что приводит к уравнениям.

.

Решая эту систему получим ;

При квадратичной интерполяции рассматриваем отрезок (x_i-1, x_i+1), а в качестве интерполирующей функции квадратный трехчлен (парабола)

, .

Коэффициенты a_i, b_i, и c _i можно определить из условия прохо-ждения параболы через точки (x_i-1 ,y_i-1) , (x_i ,y_i), (x_i+1 ,y_i+1) что приводит к уравнениям.

Многочлен Лагранжа (глобальная интерполяция)

Строится многочлен степени n, единый для всего отрезка [x₀, x_n], принимающий значения во всех узлах сетки, равные значениям исходной функции f(x_i), i=0, 1,...,n.

, (2.3)

где - коэффициент Лагранжа.

(2.4)

n – степень полинома Лагранжа.

Многочлен является единственным и в узлах сетки x_i принимает значения f(x_i).

Многочлены Ньютона (глобальная интерполяция)

Узлы сетки – равноотстоящие (с шагом h = x_i – x_i-1 = const).

Для функции f(x) составим первые разности:

(2.5)

. . .

Разности высших порядков

. . .

(2.6)

. . .

. . .

где i = 0, 1,..., n-k

Многочлен Ньютона будем искать в следующем виде

N(x)=a₀+ a₁(x-x₀)+ a₂(x-x₀)(x-x₁)+...+ a_n(x-x₀)(x-x₁)∙...∙(x-x_n-1)=

= (2.7)

Из условия N(x_i) = y_i = f(x_i) определяем

N(x₀) = a₀ = y₀

N(x₁) = a₀ + a₁(x₁ -x₀) = a₀ + a₁ h = y₁

N(x₂) = a₀ + a₁(x₂ -x₀) + a₂(x₂-x₀)(x₂-x₁)= a₀ +2a₁h+2a₂ h ²= y₂

...

Отсюда

a₀ = y₀ ,

(2.8)

...

Введем обозначение и подставим его и (2.8) в формулу (2.7).

Выполняя преобразования, получим

(2.9)

Для повышения точности целесообразно применять полученную формулу Ньютона не для всего интервала [x₀, x_n], а для x₀ ≤ x ≤ x₁. Для других значений аргумента x_i ≤ x ≤ x_i+1 вместо x₀ взять x_i.

Тогда, в общем виде получим 1–й интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования вперед, т.е. x₀, x₀ + h,..., x₀ + nh.

(2.10)

Эта формула используется для вычисления значений функции в точках левой половины отрезка [x₀, x_n], т.к. разности вычисляются через значения функции y_i, y_i+1, ..., y_i+k при i+k < n и при больших i нельзя вычислить разности высших порядков, входящих в (2.10).

Для правой половины отрезка лучше вычислять справа налево и принимать обозначение .

Получаем 2–й интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования назад, т.е. x_n, x_n - h,..., x_n - nh.

(2.11).

При точном вычислении формулы Лагранжа и Ньютона порождают один и тот же многочлен.