Тема 1 Численные методы решения инженерных задач
В технике и во многих областях науки основным результатом решения задачи является ее численное решение.
Численные методы – это методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами, выполняемыми на ЭВМ.
При применении численных методов решение задачи оказывается, как правило, приближенным. Это объясняется тем, что точное решение многих задач неизвестно.
Кроме того, даже при наличии точного метода часто используются приближенные методы, в частности, по следующим причинам:
- точное решение очень трудоемко, а приближенное решение при существенно меньшем объеме вычислений оказывается вполне приемлемым;
- точность полученного результата не играет существенной роли, так как в любом случае округляется до целого числа;
- приходится удовлетворяться приближенным решением, поскольку точное решение не может быть получено из-за неизбежных погрешностей, возникающих в процессе вычислений.
Основные источники и типы погрешностей Элементы теории погрешностей
Неустранимые погрешности:
Несоответствие математической модели (задачи) изучаемому реальному явлению.
Погрешность исходных данных (входных параметров).
Устранимые погрешности:
Погрешность метода.
Ошибки округления в действиях над числами
Численный метод считается выбранным удачно, если погрешность метода значительно меньше неустранимой погрешности, а погрешность округления – значительно меньше погрешности метода.
Приближенные числа и действия над ними
Пусть А – точное значение некоторой величины, a – приближенное значение (число), заменяющее А в вычислениях.
Абсолютная погрешность (ошибка) числа
(1.1)
-
предельная абсолютная погрешность -
всякое число, не меньшее абсолютной
погрешности числа.
Следовательно, точное число А заключено в границах
,
(1.2)
Абсолютная
погрешность недостаточна для характеристики
точности вычислений, например
м
и
м
Относительная погрешность числа
(1.3)
-
предельная относительная погрешность,
не меньшая относительной погрешности
числа.
Обычно
относительная погрешность определяется
в процентах
(1.4)
Теоремы, применяемые для оценки погрешностей результатов арифметических действий
Теорема 1. Абсолютная погрешность суммы или разности приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей чисел.
(1.5)
Теорема 2. Относительная погрешность произведения или частного двух приближенных чисел, отличных от 0, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.
;
(1.6)
Некоторые следствия из теорем
;
(1.7)
;
.
Системы счисления – это совокупность приемов и правил для обозначения и наименования чисел.
Различают позиционные и непозиционные системы счисления.
Примером непозиционной системы счисления является римская система (I – 1, V – 5, т.е. цифры сохраняют значение числа вне зависимости от положения цифры).
Арабская система записи чисел – позиционная.
В позиционной системе с основанием β запись
(1.8)
является представлением числа с фиксированной десятичной запятой.
Представление числа с плавающей запятой
,
(1.9)
где М – мантисса числа х,
β – основание системы счисления,
b – целое число.