Дифференциальные уравнения теплопроводности

Дифференциальное уравнение теплопроводности

для объемного тела

Уравнение теплопроводности выводится на основе закона теплопро-водности Фурье. Условие: в неравномерно нагретом теле выделим беско-нечно малый объем (кубик) с размерами сторон dxdydz. Через одни грани в этот объем теплота поступает и через противоположные грани она отдается в окружающую среду. Входящий тепловой поток равен q₁, а выходящий – q₂. Если q₁ > q₂, то процесс не стационарный, а избыток теплоты расходуется на нагрев тела.

Подвод теплоты и ее отдача могут происходить через любые грани в направлении осей X, Y, Z. Поэтому необходимо рассмотреть тепловые потоки и тепловой баланс по всем трем координатным направлениям. В общем случае при неравномерном нагреве тела градиент температур и удельные тепловые потоки, притекающие к граням, например, к грани «x»,и оттекающие от граней, например, грани «x+dx», будут различны. Если принять, что рассматриваемое тело изотропно (т. е. имеет Одина-ковую теплопроводность по всем направлениям, а также, что теплопро-водность, теплоемкость и плотность материала не зависят от темпера-туры), то можно считать, что λ_x=λ_y=λ_z=λ. Уравнение теплопроводности примет вид

dQ = λ dxdydzdt.

Это количество теплоты повысит температуру элементарного объема на величину , в связи с чем его можно выразить как про-изведение объема тела, объемной теплоемкости и приращения темпера-туры

dQ = .

Произведя ряд преобразований, получим уравнение теплопроводности для объемного тела в дифференциальной форме

а .

По физическому смыслу это уравнение связывает скорость изменения температуры в данной точке с распределением температур в ее окрест-ностях. Выражение в скобках называется оператором Лапласа. Оператор характеризует отклонение температуры данной точки от средних темпе-ратур окрестных точек. – символ сокращенной записи оператора Лапласа; «2» не квадрат, а обозначение второй производной. Коэф-фициент a, представляющий собой отношение коэффициента теплопро-водности к объемной теплоемкости, называется коэффициентом темпера-туропроводности и имеет размерность см²/с. Он характеризует скорость выравнивания температуры. В дальнейшем будем принимать этот коэф-фициент, не зависящем от температуры. В действительности он зависит от температуры, но учет этого фактора приводит к нелинейным диффе-ренциальным уравнениям, что сильно осложняет решение практических задач.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

для плоского тела

В тонкой пластине температурное поле можно отнести к плоской си-стеме координат, так как температура равномерно распределяется по толщине пластины и не зависит от координаты Z, т. е. . Тогда уравнение теплопроводности примет вид

а( ).

Дифференциальное уравнение теплопроводности

для линейного тела

В длинном тонком стержне, трубе или других подобных телах (дета-лях) температура может быть распределена равномерно по поперечному сечению, и не будет зависеть от координат Y и Z, т. е.

, .

Уравнение теплопроводности примет вид

а .