Сгруппированные данные

Сделка	Количество продаваемых акций	Курс продаж
1	500	1080
2	300	1050
3	1100	1145

, где- веса.

Формулу среднеарифметического не взвешенного можно применять только в случае отсутствия весов или равенства весов.

ПРИМЕР: (для интервальных данных)

Распределение работников предприятия по возрасту

Возраст	Число рабочих
До 25	7
25-30	13
30-40	38
40-50	42
50-60	16
60 и более	5
ИТОГО:	121

Лекция №3

§4. Показатели вариации

П.1.Виды показателей вариации

ОПР:Изменение признака под воздействием случайных факторов называетсяслучайной вариацией.

Показатели вариации можно разделить на 3 группы:

1. Показатели центра распределения – среднеарифметическое, мода, медиана.

2. Показатели степени вариации – вариационный размах, дисперсия, коэффициент вариации.

3. Показатели типа распределения – кривые распределения.

М₀ –мода – наиболее часто встречаемое значение.

М_l–медиана– величина изучаемого признака, которая находится в середине упорядоченного ряда.

Если в выборке 2m+1 случаев, то М_l = Х_m+1

Если 2m, то М_l =X_m+X _m+1

2

Если М₀отражает типичный вариант значения признака, то медиана практически выполняет функцию средней величины для неоднородной совокупности.

ПРИМЕР:Пусть необходимо найти доход группы людей из 100 человек, 99 из которых имеют доход от 100$ до 200$, а месячный доход последнего человека из этой группы составляет 50000$.

№	1	2	3	4	…….	50	51	……	99	100
Доход $	100	104	104	107	…….	162	164	…….	200	50000

≈ 600 – 700$

М_l =163$

Для симметричных распределений = М₀= М_l

Показатели степени вариаций делят на относительные и абсолютные.

Абсолютные

• Размах вариации R

• Среднее линейное отклонение

• Дисперсия σ²

• Среднеквадратичное отклонение σ

Относительные:

• Коэффициент вариации V_σ

1. R=X_max-X_min Показывает амплитуду выборок.

К недостаткам Rможно отнести тот факт, что очень низкое (высокое) значение признака может быть вызвано какими – либо случайными обстоятельствами‌.

2.

3.

4. - взвешенная дисперсия

- веса каждого варианта

5.

Если V_{σ ,}то выборка считается статистически однородной.

П.2. Вариация альтернативного признака

Энтропия распределения

В ряде случаев возникает необходимость в измерении дисперсии альтернативных признаков, т.е. тех признаков, которыми обладают одни единицы совокупности, а другие единицы совокупности не обладают ими.

Примерами таких признаков являются: ученая степень преподавателя ВУЗа, работа по полученной специальности, бракованная продукция. Значение альтернативного признака обычно задается единицей, если объект этим признаком обладает и нулем, если не обладает.

Пусть р – доля единиц, которые обладают данным признаком, а

q– доля единиц, которые не обладают данным признаком.

,n–объем выборки

1, p

ζ=p+q=1

0 , q

σ² = (1 - p)²p + (0 - p)²q = q²p + p²q = pq(q + p) = pq

p + q

σ²_max = 0,25 ; σ_max = 0,5

Обобщенной характеристикой различий внутри ряда служит энтропия распределения.

ОПР:Энтропия– мера неопределенности данных наблюдений. Она зависит от числа градации признака и от вероятности каждого из них. Измеряется в битах.

Если все варианты равновероятны, то энтропия максимальна:

Если признак принимает 2 значения, то для n= 2, Н_max= 1

Относительная энтропия

Энтропия часто используется в социальной статистике в качестве меры неопределенности политической ориентации избирателей.

Пример(к зачету): имеются данные о распределении голосовавших в 2-х районах области за кандидатов в местное законодательное собрание.

Партия	Район 1	Район 2
1. Союз правых сил	10	6
2. Яблоко	18	12
3. Блок Жириновского	5	7
4. КПРФ	20	24
5. Единство	47	51
Итого:	100	100

Определить, в каком районе выше степень неопределенности ориентации потребителей.

П.3. Виды дисперсии, в совокупности разделенные на группы

Правило сложения дисперсий

Можно определить 3 показателя вариации признака в совокупности:

1. Общая дисперсия σ₀²

2. Межгрупповая дисперсия σ²

3. Средняя из внутригрупповых дисперсий ²

- Общая дисперсияизмеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов.

. - средняя по всей совокупности;

n_i – кол-во единиц в каждой группе (веса)

-Межгрупповая дисперсияхарактеризует вариацию изучаемого признака, возникшего под влиянием группировочного признака.

- средняя величина поj-й группе;

-Внутригрупповая дисперсияσ_j² отражает часть вариации, вызванную влиянием неучтенных факторов и независящую от группового признака.

- Средневзвешенная дисперсия:

- сложение дисперсий.

ПРИМЕР:Распределение торговых предприятий по объему прибыли и формам собственности.

Объем прибыли на 1 предприятие., млрд. руб	Государственные предприятия	Негосударственные предприятия
1,0 -1,2	-	3
1,2 – 1,4	-	4
1,4 – 1,6	-	17
1,6 – 1,8	11	15
1,8 – 2,0	13	6
2,0 – 2,2	18	5
2,2 – 2,4	6	-
2,4 – 2,6	2	-
Итого:	50	-

= 1,8 млрд руб

σ₀² = 89,8 млн руб

= 2 млрд руб; =46,8 млн руб

=1,628 млрд руб; =63,6 млн руб

= (46,8 +63,6)/2 = 55,3 млн руб

=34,5 млн руб

По теореме о сложении дисперсий: 89,8 = 34,5 +55,3

П.4. Эмпирический коэффициент детерминации

показывает, какая доля общей дисперсии приходится на дисперсию, вызванную вариацией группировочного признака.

Эмпирическое корреляционное отношение ,

Если = 0, то группировочный признак не влияет на результативный признак.

Если = 1, то результативный признак изменяется только под влиянием группировочного признака.

В нашем примере = 38,5% (только эта часть вар. обусловлена различиями в форме собственности предприятий).